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函数序列一致收敛的判别及MATLAB在其上的应用.doc
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函数序列一致收敛的判别及MATLAB在其上的应用.doc
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摘 要
函数序列的一致收敛性理论是数学分析的一个重要内容。在众多数学分析讲义中给
出了函数序列一致收敛的一些判别方法,但是这些方法仍不够全面,并不能解决大多数
函数序列的一致收敛问题。因此,文章简要地阐述了函数序列一致收敛的研究背景以及
研究意义,归纳总结了比较实用的六种函数序列一致收敛的判别方法,并对它们的应用
做了相应的说明与举例,以便于读者更好的理解这些判别方法,为今后处理函数序列一
致收敛的判别提供便利。同时文章提出 MATLAB 在函数序列一致收敛判别上的应用,给
出解题的程序代码步骤,并通过几个例子说明,实现了信息技术在数学分析中的有效融
合,并得到实验的验证。这对于研究函数序列一致收敛及其收敛区间具有较大的作用。
关键词:函数序列;一致收敛;MATLAB 编程
Abstract
The theory of uniform convergence of function sequence is an important content of
mathematical analysis. In many lecture notes of mathematical analysis, some methods to
judge the uniform convergence of function sequences are given, but these methods are still
not comprehensive enough to solve the problem of uniform convergence of most function
sequences. Consequently, the research background and significance of uniform convergence
of function sequences are briefly described in this paper, summarizes six practical methods
for judging the uniform convergence of function sequences, and gives corresponding
explanations and examples for their applications, so as to facilitate the readers to better
understand these methods and provide convenience for dealing with the uniform convergence
of function sequences in the future. At the same time, the paper puts forward the application
of MATLAB in the judgment of uniform convergence of function sequence, gives the
procedure code steps of solving problems, and through several examples, realizes the
effective integration of information technology in mathematical analysis, and is verified by
experiments. It is important to study the uniform convergence and the convergence interval of
function sequences.
Key words: Function sequences; Uniform convergence; MATLAB programme and picture.
2
目 录
1 引 言 ...............................................................1
2 函数序列一致收敛的相关概念 .............................................2
2.1 函数序列的定义 .............................................................................................................2
2.2 函数序列收敛的定义 .....................................................................................................2
2.3 函数序列一致收敛的定义 .............................................................................................2
3 函数序列一致收敛的判别 .................................................3
3.1 柯西准则 .........................................................................................................................3
3.2 余项准则 .........................................................................................................................4
3.3 狄尼(Dini)定理.................................................................................................................5
3.4 海涅定理推广的一致收敛判别 .....................................................................................6
3.5 利普希兹(lipschitz)条件的一致收敛判别................................................................7
3.6 逐项连续序列的一致收敛判别 .....................................................................................8
4 MATLAB 在函数序列一致收敛上的应用 ......................................9
4.1 MATLAB 在函数序列一致收敛上的应用举例 ...............................................................9
4.2 MATLAB 在函数序列一致收敛上的编程步骤 .............................................................10
4.3 MATLAB 在函数序列一致收敛上的几个例子 .............................................................11
5 总 结 ..............................................................13
参 考 文 献 ..........................................................15
致 谢 ................................................................16
1
函数序列一致收敛的判别及
MATLAB 在其上的应用
1 引 言
古往今来,众多数学家都在函数序列一致收敛方法的研究方面做出了巨大贡
献,这些性质早在百多年前就已经研究清楚了。函数序列一致收敛是在其收敛的
基础上增加条件而得到的。在高斯(Gauss,1777-1855)等人对无穷级数研究的
基础之上,法国数学家柯西(Cauchy,1789-1857)是第一位认识到无穷级数论并不
是多项式理论的平凡推广,他认为这个理论应该要以极限为基础,最后他建立了
完整的级数理论。他所给出的“柯西准则定理”作为判定函数序列一致收敛的重
要定理之一,对研究者提供了很大的开辟路径。意大利数学家乌利塞•迪尼(Ulisse
Dini,1845-1918)提出的“狄尼定理”是从紧致拓扑空间下研究的函数序列一致
收敛的特殊结论,对后辈研究函数序列的一致收敛性提供了分析基础。现代也有
许许多多的数学研究者对函数序列一致收敛探索出新的判别方法,他们在前人的
研究基础上寻找不同方向的条件判别函数序列的一致收敛性。数学的发现和探索
是永无止境的。
众所周知,一致收敛理论是数学分析课程中的重难点之一,许多数学分析的
教材把函数序列的理论作为函数项级数的准备展开。但实际上,函数序列的理论
具有独立意义,它和函数项级数的理论同等重要且相辅相成。为了更直观地判定
函数序列是否一致收敛,文章在归纳传统判别方法的基础之上引入 MATLAB 这一数
学软件。用 MATLAB 软件编程的图像可以很清楚地观察出函数序列是否一致收敛,
若其是一致收敛的,还可以得知在第几项开始进入一致收敛的区域。通过代码编
程也减小了传统的判定方法因计算带来的失误或函数较复杂带来的化简步骤。
文章在前人研究的基础上,从函数序列收敛的相关概念、判定定理、应用举
例等方面,详细论述且归纳函数序列一致收敛的判别方法, 第一次将函数序列一
致收敛的判别与 MATLAB 软件结合研究,并得到预期的结果,利用 MATLAB 的编程
代码语言成功地将 MATLAB 数学软件与函数序列一致收敛性结合起来,实现了信息
技术在数学分析中的有效融合,并得到实验验证,让数学研究在计算机领域上向
前迈了一步,这对今后的数学与信息技术的融合有一定的帮助。
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南抖北快东卫
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