4线性规划的基本理论.pdf

线性规划是运筹学中的一个基础概念，用于求解在一系列线性约束条件下，如何最大化或最小化一个线性目标函数的问题。本章主要介绍了线性规划的基本理论及其求解方法。 线性规划问题（LP）通常定义为：在满足一组线性等式和不等式的条件下，寻找一个向量x，使得目标函数c^Tx达到最大值或最小值。其中，c是目标函数的系数向量，A是约束矩阵，b是约束常数向量，x必须是非负的。如果约束矩阵A的秩等于m（行数），那么存在可行解。 线性规划的可行解集K是由所有满足约束条件的x组成的集合，也称为可行域。如果一个解x使得目标函数在K上取得极值，那么这个解称为最优解，对应的函数值为最优值。线性规划的关键在于找到这样的最优解。 线性规划的单纯形法是解决LP问题的一种常用算法，通过迭代过程将非基变量替换为基变量，以逐步接近最优解。在每个迭代步骤中，选择一个改进目标函数最多的非基变量进入基，同时移出一个当前基中的变量。这个过程会持续进行，直到找到最优解或者确定无解或无穷多解。 对偶理论是线性规划的另一个重要方面，它通过构建原问题的对偶问题来帮助理解和解决原问题。对偶问题的变量是对原问题约束的系数，目标函数是原问题的约束。对偶单纯形法则是对偶问题的解法，与原问题的单纯形法类似，但操作在对偶问题的基上进行。 教学中，线性规划的单纯形法是重点，因为它是一种有效的数值求解方法；而对偶单纯形法则被认为是难点，因为它涉及到更抽象的概念，如对偶问题和弱对偶定理。教师通常会采用启发式教学法，结合多媒体演示和板书，用6学时来讲解这部分内容。 线性规划的应用广泛，包括生产计划、资源分配、投资决策等多个领域。掌握线性规划的基本理论和解法对于理解和解决实际问题至关重要。例如，在例1中，通过分析约束矩阵的列向量，找到了原问题的所有基本可行解，并通过非退化性质判断了问题的非退化性。定理1和2进一步阐述了基本可行解的特性，即非零分量对应的列向量线性无关，以及可行解与基本可行解之间的关系。 线性规划是运筹学的核心，其基本理论和算法是优化问题求解的基础，对学习者深入理解优化问题和应用数学模型解决问题有着重要的指导作用。