上海交通大学电磁场课后习题解答第三章

### 上海交通大学电磁场课后习题解答第三章 #### 知识点一：电场强度的计算 在本章节的习题解答中，我们首先遇到了如何计算不同区域内的电场强度的问题。根据题目描述，这里涉及的是一个球形区域内电荷分布不均匀的情况。我们需要根据高斯定律来计算不同半径下的电场强度。 - **知识点概述**： - **高斯定律**：通过任意闭合曲面 S 的电通量等于该曲面内所有电荷的代数和除以真空介电常数 ε₀。 - **球对称性**：利用球对称性简化计算过程，选取合适的高斯面进行计算。 - **详细解析**： - **区域划分**：题目中将空间分为了四个不同的区域，分别是 R < a、a ≤ R ≤ b、b ≤ R ≤ c 和 R > c，并且给出了各个区域内的电荷密度 ρ(R) 表达式。 - **电场强度计算**： - **区域 R < a**：由于内部没有自由电荷分布，电场强度为零。 - **区域 a ≤ R ≤ b**：利用高斯定律可以得出 E2(R) = 2ρ0a³ / (15ε0R²)，其中 R 是高斯面的半径。 - **区域 b ≤ R ≤ c**：电场强度 E3(R) = 0，即在这个区域内电场强度为零。 - **区域 R > c**：电场强度与第二个区域相同，即 E4(R) = 2ρ0a³ / (15ε0R²)。 #### 知识点二：电势的计算 解决了电场强度问题之后，接下来需要计算不同区域内的电势。 - **知识点概述**： - **电势定义**：电场力做功与单位正电荷之比。 - **积分法**：通过积分求解电势，即 V(R) = - ∫ E(R) ⋅ dl。 - **详细解析**： - **区域划分**：同样地，空间被划分为四个不同的区域进行分析。 - **电势计算**： - **区域 R > c**：电势 V4(R) = 2ρ0a³ / (15ε0R)。 - **区域 b ≤ R ≤ c**：电势 V3(R) = 2ρ0a³ / (15ε0c)。 - **区域 a ≤ R ≤ b**：电势 V2(R) = 2ρ0a³ / (15ε0) * (1/R - 1/b + 1/c)。 - **区域 R < a**：电势 V1(R) 的计算较为复杂，涉及到多项式积分的结果，最终表达式为 V1(R) = ρ0/ε0 * (a²/4 - R²/6 + R⁴/(20a²) - 2a³/(15b) + 2a³/(15c))。 #### 知识点三：电场强度的矢量表示 在解决了电场强度和电势的问题后，接下来考虑了电场强度的矢量表示形式。 - **知识点概述**： - **电场强度的矢量表示**：将电场强度分解成不同方向上的分量。 - **球坐标系中的电场强度**：在球坐标系中表示电场强度需要用到单位矢量 ar、aθ 和 aφ。 - **详细解析**： - **例题解析**：题目中给出了一点 P0 的位置坐标，并要求计算该点处的电场强度矢量。 - **计算步骤**： - 首先计算出点 P0 到源点的距离 R1。 - 再利用电荷 Q 和距离 R1 来计算电场强度的大小。 - 最后根据点 P0 的位置坐标，将电场强度分解为径向分量 E_r、θ 分量 E_θ 和 φ 分量 E_φ。 - 通过具体的数值计算得到 E1 = Q / (4πε0R³) * [0.057ar + 0.015aθ + 0.227aφ]。 #### 知识点四：矢量场的分解 最后一个知识点涉及到了矢量场的分解以及如何在球坐标系中表示电场强度。 - **知识点概述**： - **矢量场的分解**：将矢量场分解为不同坐标系下的分量。 - **球坐标系中的电场强度**：在球坐标系中表示电场强度需要用到单位矢量 ar、aθ 和 aφ。 - **详细解析**： - **例题解析**：题目给出了一个点 P0 在球坐标系中的坐标 (R, θ, φ)，并要求计算该点处的电场强度矢量。 - **计算步骤**： - 首先根据点 P0 的坐标计算出其在直角坐标系下的坐标 (x, y, z)。 - 再利用这些坐标值将电场强度矢量分解为径向分量 Er、θ 分量 Eθ 和 φ 分量 Eφ。 - 具体的数值计算结果为 Er = 0.035Q / (4πε0a²ar)、Eθ = 0.045Q / (4πε0a²aθ) 和 Eφ = -0.042Q / (4πε0a²aφ)。 通过以上分析可以看出，本章节主要涉及了电场强度和电势的基本概念及其计算方法，并通过具体的例题来加深理解。这些内容对于学习电磁场理论的基础非常重要。