第四章 总习题答案详解
本章主题涵盖了微积分中的重要概念——微分与积分。微分是分析函数变化率的重要工具，而积分则可以理解为求和或面积的概念，两者构成了微积分的基本框架。以下是对第四章部分习题的详细解答。
习题1：求函数f(x) = x^2的导数。
解答：根据幂函数的导数公式，f'(x) = 2x。这是基本的导数规则之一，对于函数y = x^n，其导数为y' = nx^(n-1)。
习题2：证明函数g(x) = sqrt(x)在x=4处可导，并求其导数值。
解答：可导性可以通过极限定义来验证。g'(4) = lim(h->0) [g(4+h) - g(4)]/h = lim(h->0) [sqrt(4+h) - sqrt(4)]/h。利用洛必达法则，分子分母同时除以sqrt(4+h)，得到g'(4) = lim(h->0) [1/(2*sqrt(4+h))] = 1/4。因此，g(x)在x=4处可导，且导数值为1/4。
习题3：计算定积分∫(from 1 to 2) (3x^2 + 2x) dx。
解答：定积分可以通过积分基本定理解决。首先分别对3x^2和2x积分，得到∫(from 1 to 2) 3x^2 dx = [x^3]_1^2 和 ∫(from 1 to 2) 2x dx = [x^2]_1^2。将上限和下限代入，得到原定积分的值为 (2^3 - 1^3) + (2^2 - 1^2) = 7 + 3 = 10。
习题4：应用微分方程解问题：假设一个物体自由下落，其速度v(t)与时间t的关系满足v(t) = -9.8t + 20，求物体在t=2秒时下落的距离s。
解答：物体下落的距离s是速度的积分，即s(t) = ∫v(t) dt。将v(t) = -9.8t + 20代入，得到s(t) = [-4.9t^2 + 20t]_0^t。当t=2时，s(2) = [-4.9*2^2 + 20*2] - [-4.9*0^2 + 20*0] = -19.6 + 40 = 20.4。所以，物体在2秒时下落了20.4米。
习题5：利用二重积分计算区域D内的面积，其中D是由直线y=x和曲线y=e^x围成的区域。
解答：二重积分可以表示为∫∫D dA，首先找到两个图形的交点，解方程e^x = x，得到x=0和x=1。于是，D的边界为x=0，x=1，y=0，y=e^1。因此，二重积分可以写为∫(from 0 to 1) ∫(from 0 to e^x) dydx。计算得到，面积S = ∫(from 0 to 1) [e^x - 0] dx = [e^x]_0^1 = e - 1。
以上是部分习题的详细解答，这些题目涵盖了微分、积分、可导性、定积分的应用以及二重积分等核心概念。通过深入理解和练习，可以更好地掌握微积分的基础知识，无论是在大学的初级阶段还是准备研究生入学考试，都有助于深化理解和提高解题能力。
