《硕士研究生入学考试《数学》(含高等数学、线性代数)考试大纲》涵盖了数学的基础理论和核心技能,旨在全面考察学生的数学素养和解决问题的能力。大纲分为四个主要部分:函数与连续性、一元函数微分学、一元函数积分学以及向量代数和空间解析几何。
一、函数与连续性
这部分要求学生理解函数的基本概念,包括函数的表示方法、性质(如奇偶性、单调性、周期性和有界性)以及复合函数、反函数和分段函数的理解。极限是这一部分的重点,学生需要掌握数列极限与函数极限的定义、性质和运算法则,包括左右极限和无穷小的概念。此外,还需要熟悉极限存在的准则,如单调有界准则和夹逼准则,以及两个重要极限:lim(x→0)(1+ax)^1/x = e 和 lim(x→0) sin(x)/x = 1。函数的连续性是另一个关键点,学生应能判断函数的连续性,识别不同类型的间断点,并应用闭区间上连续函数的性质,如有界性、最值定理和介值定理。
二、一元函数微分学
微分学是高等数学的核心,大纲要求学生理解导数和微分的概念,包括导数的几何和物理意义,以及导数与连续性的关系。学生应掌握导数的四则运算、复合函数、反函数和隐函数的求导规则,以及高阶导数的概念。罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理是微分学的重要定理,学生需要理解和应用。此外,还要掌握函数的极值、单调性、凹凸性、拐点、渐近线的判断和函数图形的描绘,以及洛必达法则来处理未定式极限。
三、一元函数积分学
积分学部分涉及原函数、不定积分和定积分的概念,以及它们的性质和应用。学生需要掌握基本积分公式,如换元积分法和分部积分法,用于解决各种函数的积分问题。此外,还应理解定积分中值定理,并能运用牛顿-莱布尼茨公式进行定积分计算。积分的应用涵盖面积、长度、体积计算,以及物理问题中的功、引力和平均值等。
四、向量代数和空间解析几何
这部分要求学生掌握向量的概念,包括向量的线性运算、数量积和向量积。学生需要理解向量的坐标表达式,以及单位向量、方向数和方向余弦。空间中的曲面和曲线方程是重点,包括平面、直线、曲面的方程,以及它们之间的关系,如平行、垂直、夹角和距离的计算。学生还需要掌握常见二次曲面的方程和空间曲线的参数方程。
这份大纲覆盖了高等数学和线性代数的关键知识点,旨在确保研究生在入学时具备扎实的数学基础,能够应对后续研究中的数学挑战。