【一元二次方程的基本概念】
一元二次方程是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程。其一般形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b、c是常数，且a不等于0。一元二次方程的解可能为一个或两个实数解，也可能没有实数解，这取决于判别式b² - 4ac的值。
【一元二次方程的解法】
1. **直接开平方法**：适用于形如(x + a)² = b（b ≥ 0）或(ax + b)² = (cx + d)²的方程，基本思想是将方程化为ab = 0的形式，解出a和b。
2. **因式分解法**：常用提公因式法和公式法来分解方程，将方程化简为因式的乘积，然后分别令每个因子等于0求解。
3. **公式法**：当b² - 4ac ≥ 0时，使用求根公式x = [-b ± sqrt(b² - 4ac)] / 2a来求解。解方程的一般步骤包括化简为标准形式、确定a、b、c的值，然后代入求根公式。
4. **配方法**：首先化二次项系数为1，然后将常数项移到等式一边，接着在等式两边加一次项系数一半的平方，最终整理为(x + a)² = b的形式，再用直接开平方法解方程。
【根的判别式】
根的判别式是b² - 4ac，它决定了方程根的性质：
1. 当b² - 4ac > 0时，方程有两个不相等的实数根。
2. 当b² - 4ac = 0时，方程有两个相等的实数根。
3. 当b² - 4ac < 0时，方程没有实数根。
在使用根的判别式时，需要注意二次项系数a不能为0，否则方程不是一元二次方程。
【一元二次方程的应用】
1. **增长率问题**：增长率等于增量除以基础量，例如a(1+m)²=b表示连续两次增长后的量b。
2. **利率问题**：本息和等于本金加上利息，利息等于本金乘以利率乘以期数。
3. **销售利润问题**：毛利润是售出价减进货价，纯利润是售出价减进货价再减其他费用，利润率是利润除以进货价。
这些知识对于解决中考数学中的实际问题至关重要，比如增长率、利率和销售利润等问题。掌握一元二次方程的解法和判别式，能帮助学生准确判断方程的根并解决实际问题。在解题过程中，需注意方程的转换、因式分解的准确性以及正确运用判别式来判断根的性质。
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