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第一章 函数·极限·连续
一. 填空题
1．设
∫
∞−
∞→
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
a
t
ax
x
dtte
x
x1
lim
, 则 a = ________.
解. 可得
∫
∞−
=
a
ta
dttee =
aatt
eae
a
ete −=
∞−
− )(
, 所以 a = 2.
2.
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
++
++
+
++
∞→
nnn
n
nnnn
n
222
2
2
1
1
lim L
=________.
解.
nnn
n
nnnnnn ++
++
++
+
++
222
21
L
<
nnn
n
nnnn ++
++
++
+
++
222
2
2
1
1
L
<
11
2
1
1
222
++
++
++
+
++ nn
n
nnnn
L
所以
nnn
n
++
+++
2
21 L
<
nnn
n
nnnn ++
++
++
+
++
222
2
2
1
1
L
<
1
21
2
++
++
+
nn
nL
2
1
2
)1(
21
22
→
++
+
=
++
+++
nnn
nn
nnn
nL
, (n→∞)
2
1
1
2
)1(
1
21
22
→
++
+
=
++
+++
nn
nn
nn
nL
, (n→∞)
所以
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
++
++
+
++
∞→
nnn
n
nnnn
n
222
2
2
1
1
lim L
=
2
1
3. 已知函数
⎩
⎨
⎧
=
0
1
)(xf
1||
1||
>
≤
x
x
, 则 f[f(x)] _______.
解. f[f(x)] = 1.
4.
)3(lim nnnn
n
−−+
∞→
=_______.
解.
nnnn
nnnnnnnn
nnnn
nn
−++
−++−−+
=−−+
∞→∞→
3
)3)(3(
lim)3(lim
=
2
3
3
lim =
−++
+−+
∞→
nnnn
nnnn
n
5.
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
→
xx
x
x
1
sin
1
cotlim
0
=______.
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