根据提供的文档内容，我们可以从中提炼出以下几个重要的线性代数知识点：
### 1. 特征值与特征向量
**题目**: 已知矩阵 \(A\) 满足 \(A^2 = E\)，则 \(\left|A\right|\) 的值是多少？
**解析**: 给定条件为 \(A^2 = E\)，即矩阵 \(A\) 的平方等于单位矩阵。我们知道单位矩阵的行列式的值为 1，即 \(\left|E\right| = 1\)。利用行列式的性质，可以得到 \(\left|A^2\right| = \left|A\right|^2 = \left|E\right| = 1\)。因此，\(\left|A\right|\) 的值为 \(\pm 1\)。
**题目**: 已知 \(4\) 阶行列式 \(\left|A\right| = -3\)，求 \(\left|-2A^\ast\right|\) 的值。
**解析**: 这里 \(A^\ast\) 表示 \(A\) 的伴随矩阵。我们知道伴随矩阵的行列式与其原矩阵的行列式之间存在关系 \(\left|A^\ast\right| = \left|A\right|^{n-1}\)，其中 \(n\) 为矩阵的阶数。对于 \(4\) 阶矩阵，有 \(\left|A^\ast\right| = \left|A\right|^3 = (-3)^3 = -27\)。进一步地，\(\left|-2A^\ast\right| = (-2)^4 \cdot \left|A^\ast\right| = 16 \cdot (-27) = -432\)。
### 2. 矩阵的秩与线性相关性
**题目**: 已知矩阵 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & r \end{pmatrix}\)，当 \(r = ?\) 时，\(R(A) = 2\)。
**解析**: 矩阵 \(A\) 的秩等于 2，意味着矩阵的行（或列）中有两行（或列）线性无关，而第三行（或列）可以由前两行（或列）线性表示。为了使 \(R(A) = 2\)，需要确保第三行可以通过前两行的线性组合来表示。通过计算，可以发现当 \(r = 2\) 时，第三行可以表示为第一行加第二行的结果，即 \(2 \cdot (1, 2, 1) + (1, 1, 0) = (2, 0, 2)\)。
**题目**: 设向量 \(\alpha_1 = (1, 1, 0)\)，\(\alpha_2 = (0, 1, 1)\)，\(\alpha_3 = (3, 4, 1)\)，判断它们是否线性相关。
**解析**: 判断向量线性相关的常用方法之一是将这些向量作为列向量组成矩阵，然后求解矩阵的秩。若矩阵的秩小于向量的数量，则向量线性相关；否则线性无关。构造矩阵 \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\)，通过初等行变换简化后，可以发现矩阵的秩为 3，因此这三个向量线性无关。
### 3. 线性方程组的解
**题目**: 讨论下列方程组何时无解，何时有唯一解，何时有无穷多解，并在有无穷多解的情况下，求其通解。
\[
\begin{cases}
x_1 - x_2 + x_3 = 1 \\
-x_1 + 2x_2 + x_3 = -2 \\
-x_1 - x_2 + 4x_3 = \lambda
\end{cases}
\]
**解析**: 通过构建增广矩阵并进行高斯消元，可以分析方程组的解的情况。对于 \(\lambda\) 的不同取值，方程组的解的情况可能会发生变化。具体来说，当 \(\lambda\) 的取值使得增广矩阵的最后一行出现矛盾（如 \(0 = 1\)）时，方程组无解；当增广矩阵的最后一行不出现矛盾，但系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等时，方程组有唯一解；当系数矩阵的秩小于未知数个数时，方程组有无穷多解。通过计算，可以得到具体的解的情况和通解。
### 4. 向量组的线性相关性与极大无关组
**题目**: 当 \(t = ?\) 时，向量组 \(\beta_1 = (1, 1, 3, 1)\)，\(\beta_2 = (-1, t, -1, 3)\)，\(\beta_3 = (5, -2, 8, -9)\)，\(\beta_4 = (-1, 3, t, 7)\) 线性相关？求其极大无关组并用它表示其余向量。
**解析**: 向量组线性相关的判断同样可以通过构造矩阵并求秩的方法来进行。构造矩阵 \(\begin{pmatrix} 1 & -1 & 5 & -1 \\ 1 & t & -2 & 3 \\ 3 & -1 & 8 & t \\ 1 & 3 & -9 & 7 \end{pmatrix}\)，当 \(t = 1\) 时，矩阵的秩为 3，即向量组线性相关。此时，\(\beta_1, \beta_2, \beta_3\) 构成一个极大无关组，且 \(\beta_4\) 可以表示为其他向量的线性组合。例如，可以求得 \(\beta_4 = \beta_1 + 2\beta_2 + \beta_3\)。
以上是对文档内容中的几个关键知识点的详细解释和解析过程。这些知识点覆盖了线性代数中的多个重要概念，包括特征值与特征向量、矩阵的秩与线性相关性、线性方程组的解以及向量组的线性相关性和极大无关组等。
