【高等数学知识点详解】
高等数学是大学阶段一门基础且重要的课程，主要研究极限、微积分、线性代数、概率论等数学理论及其应用。以下根据提供的期末考试试题及答案，解析相关知识点：
1. **向量运算**：
- 第1题涉及到向量的加减运算和标量乘法，要求学生掌握向量的线性组合。
2. **极限与微积分**：
- 第2题考察极限的概念，理解函数在某点的极限。
- 切平面方程（第3题）是多元微积分中的重要概念，需要求解曲面在特定点的偏导数并构造方程。
- 傅里叶级数（第4题）涉及序列的收敛性以及周期函数的展开，要求理解傅里叶系数的计算和级数的收敛性质。
3. **级数的收敛性**：
- 第3题和第5题探讨级数的收敛性，包括发散、绝对收敛和条件收敛的判断。
4. **微分几何**：
- 第7题中的抛物面与平面的截面问题，涉及到曲面的性质和最值问题，需要运用多元函数的极值理论。
5. **曲线积分与曲面积分**：
- 第4题的曲线积分是格林公式的应用，用于计算参数曲线的长度或力对物体所做的功。
- 第6题的曲面积分是斯托克斯定理的应用，用于求解闭曲面的表面积或流体通过曲面的流量。
- 第8题的二重积分与三重积分计算闭区域的体积或质量。
6. **幂级数**：
- 第5题讨论幂级数的收敛域和和函数，需要掌握幂级数的收敛性判别法则。
7. **格林、高斯、斯托克斯公式**：
- 第4题和第6题中，格林公式和高斯公式分别用于计算曲线积分和曲面积分，体现了积分与微分的互逆关系。
- 斯托克斯公式在第6题出现，用于将曲面积分转化为线积分。
8. **多元函数的偏导数与微分**：
- 第1题的曲线切线与法平面的求解需要用到多元函数的一阶偏导数。
- 第2题的立体体积计算需要利用二重积分，涉及多元函数的微积分。
9. **最值问题**：
- 第3题求椭圆上点到原点距离的最值，需要用到拉格朗日乘数法或多元函数的极值理论。
这些题目覆盖了高等数学的主要内容，要求学生具备扎实的理论基础和灵活的应用能力。考试中，学生需要在规定时间内完成计算、推理和证明，展现出对高等数学概念的深刻理解和解题技巧。
