上海交大计算物理讲义

### 上海交大计算物理讲义关键知识点综述 #### 一、近似、误差与泰勒级数 - **近似与误差** - 近似：在计算物理中，由于数学模型的复杂性，往往无法得到精确解，因此需要通过数值方法进行近似求解。 - 圆整误差：指的是在计算机中表示实数时，由于存储容量限制而产生的误差。 - **截断误差与泰勒级数** - 截断误差：源于泰勒级数展开时，忽略高阶项所导致的误差。 - 泰勒级数：一种将函数在某一点附近展开为无限级数的方法，用于近似计算和误差分析。 - **总数值误差控制** - 总数值误差：包括圆整误差和截断误差在内的所有误差的总和。 - 控制数值误差：通过调整算法参数、增加计算精度等方式减少误差。 #### 二、插值与数值积分 - **有限差分** - 描述了函数在离散点上的变化率，是微分的数值逼近。 - **插值公式** - 基础函数：构成插值多项式的基本单元。 - Newton插值：基于已知数据点构建多项式的方法，适用于数据点不等间距的情况。 - NGF（自然三次样条）插值：提供连续的一阶和二阶导数的插值方式。 - NGB插值：另一种插值方法，可能指特定的边界条件下的插值。 - ST插值：可能是特定应用领域的插值技术。 - **差商** - DNGF公式：基于NGF插值的差商计算。 - DNGB公式：基于NGB插值的差商计算。 - DST公式：基于ST插值的差商计算。 - **样本应用** - 经典力学中的点力学问题：通过数值方法求解经典力学中的运动方程。 - 扩散与热传导问题：研究物质或能量在介质中的传输过程。 - **数值积分方法** - Newton-Cotes求积规则：通过构造多项式逼近函数的积分。 - 误差估计：评估数值积分结果的准确度。 - 复合与自适应求积：提高积分精度的技术。 - **多维积分的数值积分** #### 三、矩阵代数 - **矩阵类型** - 包括方阵、对角矩阵、三角矩阵等，每种类型有其独特的性质和用途。 - **精确方法（直接方法）** - 高斯消元与回代：解决线性方程组的经典方法。 - LU分解：将矩阵分解为下三角矩阵和上三角矩阵的乘积。 - 三对角矩阵的递归方法：专门用于解决三对角矩阵的线性方程组。 - 应用实例：如扩散和热传导问题。 - **迭代方法** - Jacobi方法：通过迭代更新来逐步逼近线性方程组的解。 - Gauss-Seidel方法：改进的Jacobi方法，利用最新计算结果进行迭代。 - 成功超松弛法（SOR）：加速收敛的迭代方法。 - 共轭梯度法（CG）：适用于大型稀疏矩阵的高效迭代求解方法。 #### 四、常微分方程 - **微分方程类型** - 包括初值问题、边值问题等。 - **欧拉方法** - 简单的数值积分方法，用于求解一阶常微分方程。 - **跳跃蛙方法** - 一种时间步进方法，常用于动力学模拟。 - **隐式方法** - 解决刚性系统和需要高稳定性的方程。 - **龙格库塔方法** - 高精度的时间积分方案。 - **预测-校正方法** - 结合预测步骤和校正步骤提高求解精度。 - **固有方法** - 可能是指处理特定类型的微分方程的专用方法。 - **二阶边值问题与初值问题** #### 五、偏微分方程 - **方程类型** - 包括抛物型、双曲型和椭圆型偏微分方程。 - **椭圆型偏微分方程**：通常用于描述静态问题，如热平衡状态。 以上概述了上海交大计算物理讲义中的核心知识点，涵盖了近似与误差分析、数值积分、矩阵代数、常微分方程及偏微分方程等多个领域，旨在为学习者提供全面的计算物理学基础。