深入浅出说矩阵（讲得比较透彻）
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2009-12-17
16:32:13
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这样理解矩阵
前不久 chensh 出于不可告人的目的，要充当老师，教别人线性代数。于是我被揪住就线性代数中一
些务虚性的问题与他讨论了几次。很明显，chensh 觉得，要让自己在讲线性代数的时候不被那位强势
的学生认为是神经病，还是比较难的事情。
可怜的 chensh，谁让你趟这个地雷阵？！色令智昏啊！
线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。比如说，在
全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到了第四版），一上来就介绍逆序数
这个“前无古人，后无来者”的古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些
简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫
一个热闹，可就是压根看不出这个东西有嘛用。大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：
连这是个什么东西都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这未免太“无厘头”了吧！于是开始有人逃课，
更多的人开始抄作业。这下就中招了，因为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘
头的行列式的，是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的出场——矩阵来了！多年之后，我才
明白，当老师犯傻似地用中括号把一堆傻了吧叽的数括起来，并且不紧不慢地说：“这个东西叫做矩阵”
的时候，我的数学生涯掀开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕！自那以后，在几乎所有跟“学问”二字稍
微沾点边的东西里，矩阵这个家伙从不缺席。对于我这个没能一次搞定线性代数的笨蛋来说，矩阵老
大的不请自来每每搞得我灰头土脸，头破血流。长期以来，我在阅读中一见矩阵，就如同阿 Q 见到了
假洋鬼子，揉揉额角就绕道走。
事实上，我并不是特例。一般工科学生初学线性代数，通常都会感到困难。这种情形在国内外皆然。
瑞典数学家 Lars Garding 在其名著 Encounter with Mathematics 中说：“如果不熟悉线性代数的概
念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多。”，然而 “按照现行的国际标准，线性代数是通过公
理化来表述的，它是第二代数学模型，...，这就带来了教学上的困难。”事实上，当我们开始学习线性
代数的时候，不知不觉就进入了“第二代数学模型”的范畴当中，这意味着数学的表述方式和抽象性有了
一次全面的进化，对于从小一直在“第一代数学模型”，即以实用为导向的、具体的数学模型中学习的我
们来说，在没有并明确告知的情况下进行如此剧烈的 paradigm shift，不感到困难才是奇怪的。
大部分工科学生，往往是在学习了一些后继课程，如数值分析、数学规划、矩阵论之后，才逐渐能够
理解和熟练运用线性代数。即便如此，不少人即使能够很熟练地以线性代数为工具进行科研和应用工
作，但对于很多这门课程的初学者提出的、看上去是很基础的问题却并不清楚。比如说：
* 矩阵究竟是什么东西？向量可以被认为是具有 n 个相互独立的性质（维度）的对象的表示，矩阵又
是什么呢？我们如果认为矩阵是一组列（行）向量组成的新的复合向量的展开式，那么为什么这种展
开式具有如此广泛的应用？特别是，为什么偏偏二维的展开式如此有用？如果矩阵中每一个元素又是
一个向量，那么我们再展开一次，变成三维的立方阵，是不是更有用？
* 矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定？为什么这样一种怪异的乘法规则却能够在实践中发挥如此巨大
的功效？很多看上去似乎是完全不相关的问题，最后竟然都归结到矩阵的乘法，这难道不是很奇妙的
事情？难道在矩阵乘法那看上去莫名其妙的规则下面，包含着世界的某些本质规律？如果是的话，这
些本质规律是什么？
* 行列式究竟是一个什么东西？为什么会有如此怪异的计算规则？行列式与其对应方阵本质上是什么关
系？为什么只有方阵才有对应的行列式，而一般矩阵就没有（不要觉得这个问题很蠢，如果必要，针
对 m x n 矩阵定义行列式不是做不到的，之所以不做，是因为没有这个必要，但是为什么没有这个必
要）？而且，行列式的计算规则，看上去跟矩阵的任何计算规则都没有直观的联系，为什么又在很多
方面决定了矩阵的性质？难道这一切仅是巧合？
* 矩阵为什么可以分块计算？分块计算这件事情看上去是那么随意，为什么竟是可行的？
* 对于矩阵转置运算 AT，有(AB)T = BTAT，对于矩阵求逆运算 A-1，有(AB)-1 = B-1A-1。两个
看上去完全没有什么关系的运算，为什么有着类似的性质？这仅仅是巧合吗？
* 为什么说 P-1AP 得到的矩阵与 A 矩阵“相似”？这里的“相似”是什么意思？
* 特征值和特征向量的本质是什么？它们定义就让人很惊讶，因为 Ax =λx，一个诺大的矩阵的效应，
竟然不过相当于一个小小的数 λ，确实有点奇妙。但何至于用“特征”甚至“本征”来界定？它们刻划的究
竟是什么？
这样的一类问题，经常让使用线性代数已经很多年的人都感到为难。就好像大人面对小孩子的刨根问
资源评论
q3_20062014-01-22希望能有用,矩阵好难懂....- justincui20102015-03-25个人觉得这篇文章把思想的精髓说的很简单明了，不适合初学者，适合已经学习过，但没学明白，后来又琢磨还是没太明白的人。
- impulsive2012-12-04好资源，但是不太全面
huhuaifei2012-08-27太粗略了，不值得下。
