概率论与数理统计知识点

### 概率论与数理统计知识点 #### 第一章 概率论的基本概念 ##### §2．样本空间、随机事件 **事件间的关系** - **包含关系**：如果事件B的发生必然导致事件A的发生，那么我们说事件B包含事件A，即\( B \supseteq A \)。 - **和事件**：事件A与事件B的和事件表示为\( A \cup B \)，指当且仅当A或B中至少有一个发生时，该事件发生。 - **积事件**：事件A与事件B的积事件表示为\( A \cap B \)，指当A与B同时发生时，该事件发生。 - **差事件**：事件A与事件B的差事件表示为\( A - B \)，指当A发生但B不发生时，该事件发生。 - **互不相容（互斥）**：如果事件A与事件B不能同时发生，则称它们是互不相容的。 - **逆事件（对立事件）**：如果事件A与事件B满足\( A \cup B = S \)且\( A \cap B = \emptyset \)，其中S为样本空间，那么称A与B互为逆事件或对立事件。 **运算规则** - **交换律**：\( A \cup B = B \cup A \)；\( A \cap B = B \cap A \)。 - **结合律**：\( (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) \)；\( (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) \)。 - **分配律**：\( A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \)；\( A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \)。 - **德摩根律**：\( (A \cup B)' = A' \cap B' \)；\( (A \cap B)' = A' \cup B' \)。 ##### §3．频率与概率 **定义** - **频率**：在相同的条件下进行n次试验，事件A发生的次数为\( n_A \)，则\( n_A / n \)称为事件A的频率。 - **概率**：设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数\( P(A) \)，称为事件的概率。 **概率的性质** 1. **非负性**：对于每一个事件A，有\( P(A) \geq 0 \)。 2. **规范性**：对于必然事件S，有\( P(S) = 1 \)。 3. **可列可加性**：设\( A_1, A_2, ..., A_n \)是两两互不相容的事件，则\( P(\bigcup_{k=1}^{n} A_k) = \sum_{k=1}^{n} P(A_k) \)。 4. **其他重要性质**： - 对于任意事件A，有\( P(A) \leq 1 \)。 - 若\( A \subseteq B \)，则\( P(A) \leq P(B) \)。 - 对于任意事件A，有\( P(A) + P(A') = 1 \)，其中\( A' \)是A的逆事件。 - 对于任意事件A和B，有\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)。 ##### §4 等可能概型（古典概型） **定义** - **等可能概型**：指试验的样本空间只包含有限个元素，并且试验中每个事件发生的可能性相同。 - **计算公式**：如果事件A包含k个基本事件，则\( P(A) = k / n \)，其中n是样本空间中基本事件的总数。 ##### §5 条件概率 **定义** - 条件概率是指在已知某个事件发生的情况下另一个事件发生的概率，记作\( P(B|A) \)。 - 条件概率同样满足非负性、规范性和可列可加性的性质。 **乘法定理** - \( P(AB) = P(B|A)P(A) \)，这是条件概率的一种特殊情况。 **全概率公式与贝叶斯公式** - **全概率公式**：\( P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i)P(A|B_i) \)，其中\( B_1, B_2, ..., B_n \)是一组互斥且完全覆盖样本空间的事件。 - **贝叶斯公式**：\( P(B_k|A) = \frac{P(B_k)P(A|B_k)}{\sum_{i=1}^{n} P(B_i)P(A|B_i)} \)。 ##### §6 独立性 **定义** - 事件A和事件B是独立的，如果\( P(AB) = P(A)P(B) \)。 **定理** - 如果事件A和B相互独立，则\( P(B|A) = P(B) \)。 - 如果事件A和B相互独立，那么A与\( B' \)、\( A' \)与B以及\( A' \)与\( B' \)也是相互独立的。 #### 第二章 随机变量及其分布 ##### §1 随机变量 **定义** - 随机变量是在样本空间上定义的一个实值单值函数，通常用大写字母表示，如X、Y等。 ##### §2 离散性随机变量及其分布律 **定义** - **离散性随机变量**：取值可数的随机变量。 - **分布律**：离散性随机变量X的所有可能取值及其相应的概率构成的集合，通常表示为\( P(X = x_i) = p_i \)，其中\( x_i \)是随机变量X的可能取值之一，\( p_i \)是对应的概率。