【模拟退火算法解决旅行商问题】
模拟退火算法是一种基于物理退火原理的全局优化方法，常用于解决旅行商问题。旅行商问题是一个经典的组合优化问题，目标是在给定的城市列表中找到一条访问每个城市一次并返回起点的最短路径。
**一、问题描述**
旅行商问题涉及到 n 个城市，每对城市之间存在一个距离 d_{ij}。算法的目标是找到一条遍历所有城市的路径，使得路径总长度最小。这是一个 NP-完全问题，没有已知的多项式时间解决方案，因此需要借助如模拟退火这样的启发式算法来寻找近似最优解。
**二、模拟退火算法**
模拟退火算法的核心是通过Metropolis准则来确定是否接受新的解。这个准则允许算法在一定概率下接受更糟糕的解，以避免陷入局部最优解。算法流程包括以下几个步骤：
1. 初始化：设置一个较高的初始温度 t0，选择一个初始解 i0。
2. 迭代过程：在每一步，生成一个新的解 j，计算两个解之间的能量差（在旅行商问题中，能量差对应于路径长度差）。如果新解 j 的路径长度更短或者满足 Metropolis 准则（即 e^(-ΔE/Ti) > Random(0,1)），则接受新解，否则保留当前解。这里的 Ti 是当前的温度，ΔE 是能量差。
3. 温度降低：随着时间的推移，逐渐降低温度 t（通常使用指数衰减函数 α(t) = 0.9 * t）。
4. 停止条件：当达到预设的停止准则（例如，连续多次解无变化或温度低于某个阈值）时，结束算法，返回当前解作为近似最优解。
**三、数据结构**
在 C++ 程序中，可以定义 `node` 结构体存储每个城市的坐标，`solut` 结构体表示解，包括路径总长度和路径数组。同时，可以使用比较运算符重载 `<` 来方便地比较不同解的优劣。
```cpp
struct node {
int num;
int x;
int y;
};
struct solut {
double length;
int path[CitiesNum];
bool operator < (const struct solut &other) const {
return length < other.length;
}
};
```
**四、算法实现**
在 VC++6.0 开发环境下，可以利用随机数生成器（如 Mersenne Twister）来生成新解，通过随机交换或逆转路径中的节点来实现解的变换。此外，还需要定义一个辅助函数对象类 `Genaration` 以生成伪随机数种子。
**五、算法流程**
1. 生成初始路径 X0 和初始温度 T0。
2. 在当前路径 Xi 和温度 Ti 下，根据 Metropolis 准则尝试接受新解。
3. 更新路径 Xi 和温度 Ti，继续迭代，直到满足停止条件。
4. 输出最终解作为近似最优解。
通过精心设计的冷却表，模拟退火算法能够在有限的计算时间内找到接近全局最优解的路径，从而有效地解决旅行商问题。冷却表参数的选择对算法性能至关重要，需要根据实际情况进行调整和优化。
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