2005 年硕士生研究生入学考试试题
一． 高等数学部分（共 70 分）
1．（8 分）求。
2．（10 分）设，求，。
3．（每小题 8 分，共 16 分）求下列不定
积分
4．（8 分）求，其中 n 为自然数。
5．（8 分）若，试证：
6．（10 分）求。
7．（10 分）设曲线 y=f(x)是上的非负连续
函 数 ， V （ t ） 表 示 由
y=f(x)，x=0，x=t（t>0）和 y=0 所围成的图
形绕直线 x=t 旋转而成的旋转体体积。试证明：。
二．离散数学部分（共 80 分）
1．（10 分）叙述并证明集合运算的吸收律（其中一条即可）。
2．（10 分）在二个元素的集合上，有多少种不同的二元关系？写出其中等价关系对应的划分，画出其中偏
序关系的哈斯图，画出其中全函数的关系圈。
3．（10 分）在一群人中，说同一方言的人可直接对话，不说同一方言的人也可能通过其他人的翻译来间接
对话。下列两个条件等价吗？为什么？
条件一：这群人中任何两人都能直接或间接对话。
条件二：无论怎样把这群人分成两组，总能在两组中各找出一人，这二人能直接对话。
4．（10 分）地球上是否存在这样五个国家，其中每个国家都是一块连通的区域，任何两个国家之间至少有
一段公共边界？为什么？
5．（10 分）一只老鼠吃立方体的奶酪。方法是 借助于打洞通过所有 27 个子立方体。如果它在一
个角上开始，然后依次走向未吃的子立方体。问它吃完时能否在立方体的中心？为什么？
6．（10 分）判断下列集合 A 和二元运算是否构成代 数系统，其中 Z，R 分别代表整数和实数集合。如果
构成代数系统 V，说明运算是否满足交换律，结合律，幂等律。如果 V 中有单位元，求出这个单位元并找出
V 中所有可逆元素的逆元。
（1）
（2）
（3 ）， n 为正整数， * 为普通乘
法
（4）为集合的对称差
（5）A 是集合 B 上的所有等
价关系的集合，
7．（10 分）是模 12 整数加群。写出 G 的所
有子群；画出子群格的哈斯图；说明该格是否
为分配格，模格，有补格及布尔代数。
8．（10 分）设是群同态映射，且 G2 为交换
群，N 是 G1 的子群，且，证明 N 是 G1 的正
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