场论基础知识（整理自《流体力学》-吴望一）
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2024-03-19
11:41:04
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场论初步
在空间中的某个区域内定义标量函数或矢量函数，则称定义在此空间区域内的函数为
场，研究函数为标量，则称此场为标量场；研究函数为矢量，则称此场为矢量场。
梯度——标量场不均匀性的量度
在场内任取一点
M
，过
M
点作曲线
s
，用下列极限值：
( ) ( )
0
lim
MM
MM
MM
→
−
来表征标量函数在
M
点沿着曲线
s
方向的变化率。以符号
s
来表示上式极限值，称之为
函数在
M
点沿着曲线
s
方向的方向导数。即
( ) ( )
0
lim
MM
MM
s MM
→
−
=
。
过
M
点的方向导数有无穷多个方向，然而每个方向的方向导数并不是相互独立的，只
要知道过
M
点等势面法线方向的单位矢量
n
上的方向导数
n
后，其他方向
s
的方向导数
就可以通过
n
与方向
n
，
s
表示。
证明：
过
M
点作等势面
( )
MC
=
在法线
n
上取一与
M
点无限接近的点
1
M
，过
1
M
作等势面
( )
11
MC
=
过
M
点作任一方向
s
与等势面
1
C
=
交于
M
点，显然有
( ) ( )
1
1
0
1
lim
MM
MM
n MM
→
−
=
( ) ( )
0
lim
MM
MM
s MM
→
−
=
由图易知
( )
1
cosMM MM
= n,s
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