第18章 变分法模型.pdf
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2024-04-18
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第十八章 动态优化模型
动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制
函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又
简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方
法。
§1 变分法简介
变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变
分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值
原理。
1.1 变分法的基本概念
1.1.1 泛函
设
S 为一函数集合，若对于每一个函数 Stx
∈
)( 有一个实数
J
与之对应，则称
J
是
对应在
S 上的泛函，记作 ))(( txJ 。 S 称为
J
的容许函数集。
通俗地说，泛函就是“函数的函数”。
例如对于
x
y 平面上过定点 ),(
11
yxA 和 ),(
22
yxB 的每一条光滑曲线 )(xy ，绕
x
轴
旋转得一旋转体，旋转体的侧面积是曲线
)(xy 的泛函 ))(( xyJ 。由微积分知识不难写
出
dxxyxyxyJ
x
x
)('1)(2))((
2
1
2
∫
+=
π
（1）
容许函数集可表示为
})( ,)(],,[)(|)({
221121
1
yxyyxyxxCxyxyS ==∈= （2）
最简单的一类泛函表为
∫
=
2
1
),,())((
t
t
dtxxtFtxJ
&
（3）
被积函数
F 包含自变量 t ，未知函数
x
及导数 x
&
。（1）式是最简泛函。
1.1.2 泛函的极值
泛函
))(( txJ 在 Stx ∈)(
0
取得极小值是指，对于任意一个与 )(
0
tx 接近的
Stx ∈)( ，都 有 ))(())((
0
txJtxJ ≥ 。所谓接近，可以用距离
ε
<))(),((
0
txtxd 来度量，
而距离定义为
|})()(||,)()({|max))(),((
000
21
txtxtxtxtxtxd
ttt
&&
−
−
=
≤≤
泛函的极大值可以类似地定义。
)(
0
tx 称为泛函的极值函数或极值曲线。
1.1.3 泛函的变分
如同函数的微分是增量的线性主部一样，泛函的变分是泛函增量的线性主部。作为
泛函的自变量，函数
)(tx 在 )(
0
tx 的增量记为
)()()(
0
txtxtx
−
=
δ
也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作
))(())()((
00
txJtxtxJJ
−
+=Δ
δ
如果
JΔ
可以表为
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