第16章 差分方程模型.pdf
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2024-04-08
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第十六章 差分方程模型
离散状态转移模型涉及的范围很广，可以用到各种不同的数学工具。下面我们对差
分方程作一简单的介绍，下一章我们将介绍马氏链模型。
§1 差分方程
1.1 差分方程简介
规定
t 只取非负整数。记
t
y 为变量
y
在 t 点的取值，则称
ttt
yyy −
=
Δ
+1
为
t
y 的一
阶向前差分，简称差分，称
ttttttt
yyyyyyy +−=Δ−Δ=ΔΔ=Δ
+++ 121
2
2)( 为
t
y 的二
阶差分。类似地，可以定义
t
y 的 n 阶差分
t
n
yΔ 。
由
t
yt、 及
t
y 的差分给出的方程称为
t
y 的差分方程，其中含
t
y 的最高阶差分的阶
数称为该差分方程的阶。差分方程也可以写成不显含差分的形式。例如，二阶差分方程
0
2
=+Δ+Δ
ttt
yyy 也可改写成 0
12
=
+
−
++ ttt
yyy 。
满足一差分方程的序列
t
y 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有
的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任
意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。
称如下形式的差分方程
)(
110
tbyayaya
tntntn
=
+
+
+
−++
L （1）
为
n 阶常系数线性差分方程，其中
n
aaa ,,,
10
L 是常数， 0
0
≠
a 。其对应的齐次方程为
0
110
=
+
+
+
−++ tntntn
yayaya L （2）
容易证明，若序列
)1(
t
y 与
)2(
t
y 均为（2）的解，则
)2(
2
)1(
1 ttt
ycycy += 也是方程（2）的
解，其中
21
,cc
为任意常数。若
)1(
t
y 是方程（2）的解，
)2(
t
y 是方程（1）的解，则
)2()1(
ttt
yyy += 也是方程（1）的解。
方程（1）可用如下的代数方法求其通解：
（I）先求解对应的特征方程
0
0
1
10
=+++
−
aaa
nn
L
λλ
（3）
（II）根据特征根的不同情况，求齐次方程（2）的通解。
（i）若特征方程（3）有
n 个互不相同的实根
n
λ
λ
,,
1
L ，则齐次方程（2）的通解
为
t
nn
t
cc
λλ
++L
11
（
n
cc ,,
1
L 为任意常数）
（ii）若
λ
是特征方程（3）的 k 重根，通解中对应于
λ
的项为
tk
k
tcc
λ
)(
1
1
−
++L ，
),,1( kic
i
L= 为任意常数。
（ iii）若特征方程（3）有单重复根
i
β
α
λ
±
=
，通解中对应它们的项为
tctc
tt
ϕρϕρ
sincos
21
+ ，其中
22
βαρ
+= 为
λ
的模，
α
β
ϕ
arctg= 为
λ
的幅角。
（iv）若
i
β
α
λ
±=
是特征方程（3）的 k 重复根，则通解对应于它们的项为
ttccttcc
tk
kk
tk
k
ϕρϕρ
sin)(cos)(
1
21
1
1
−
+
−
+++++ LL
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