2023“钉耙编程”中国大学生算法设计超级联赛（4）-题目集.pdf

根据给定文件的部分内容，我们可以总结出两个主要的算法设计问题：问题A是关于Number Table的计数问题，而问题B则是关于Simple Tree Problem的一种树结构分析与计算问题。 ### 问题A：Number Table #### 题目背景 在这个问题中，Spartan家庭玩一个数字表格游戏。游戏在一个由两行组成的表上进行，每行有n列。第一行由Uncle Dante填写，第二行由Father Vergil填写。他们的目标是让Nero计算有多少种排列方式可以使所有数字的按位异或(XOR)和为0。需要注意的是，表中的数字不能任意填写。Uncle Dante和Father Vergil只能在每个表格单元格中填充范围为\[0, 2^k)\]内的非负整数，并且同一行或同一列内不允许出现重复数字。 #### 输入输出格式 - **输入**： - 第一行包含一个正整数T (1 ≤ T ≤ 10)，表示测试用例的数量。 - 接下来T行，每行包含两个正整数n和k，其中1 ≤ n ≤ 40且1 ≤ k ≤ 10000。 - **输出**： - 对于每个测试用例，输出一行包含一个整数，表示答案模998244353的结果。 #### 示例 - **输入**： ``` 4 1 1 2 1 2 2 3 3 ``` - **输出**： ``` 0 2 36 8736 ``` #### 解析 对于此问题，关键在于如何有效地计算满足条件的排列数量。由于需要考虑每一列的数字按位异或结果为0，因此可以考虑将问题转化为组合数学的问题。具体来说，可以通过枚举第一行的所有可能情况，然后基于这些情况来确定第二行的填法，从而确保最终结果的按位异或和为0。需要注意的是，由于每一行不允许有重复数字，还需要额外处理这一约束条件。 ### 问题B：Simple Tree Problem #### 题目背景 本题涉及一个无向树，树中有n个顶点和n-1条边。每个顶点有一个正整数值ai (i = 1, 2, ..., n)，每条边也有一个正整数值ki (i = 1, 2, ..., n-1)。对于每一条边，如果移除它，则原来的树会被分为两个新的子树，分别标记为Ti1和Ti2。任务是计算对于每一条边i (i = 1, 2, ..., n-1)，max(g(ki, Ti1), g(ki, Ti2))的值，其中g(y, T)定义为树T中值等于y的顶点的最大数量，若不存在这样的x，则g(y, T)为0。 #### 输入输出格式 - **输入**： - 第一行包含一个整数t (1 ≤ t ≤ 10^6)，表示测试用例的数量。 - 每个测试用例包含多行输入，具体细节未给出。 - **输出**： - 对于每个测试用例，输出max(g(ki, Ti1), g(ki, Ti2))的值。 #### 示例 示例输入输出未给出，但根据题目描述可以推测出输入格式大致为： - 第一行包含测试用例数量t。 - 每个测试用例的第一行包含整数n，随后n-1行每行包含三个整数u, v, w表示树中的一条边(u, v)及其权重w。 #### 解析 该问题的关键在于如何高效地计算树被分割后两个子树中的最大值。一种可能的方法是使用深度优先搜索(DFS)策略来遍历树，并在遍历时记录每个顶点的信息。具体来说，可以构建一个辅助数据结构来帮助快速查询树中特定值的顶点数量。此外，还需要注意程序的时间复杂度，以确保在给定的时间限制内完成计算。例如，可以利用动态规划或者并查集等数据结构来优化计算过程。