随机变量及其分布是概率论与数理统计中的核心概念，主要研究随机现象的数量表现和规律。本章内容涉及了随机变量的定义、分类、概率分布以及相关性质，旨在帮助学生构建完整的知识网络，并能综合运用所学知识解决实际问题。
1. **随机变量**：随机变量是一个数学对象，它可以取到不同的值，而这些值出现的概率是有规定的。随机变量分为离散型和连续型。离散型随机变量的值是可数的，如抛硬币得到正面的次数；连续型随机变量的值是不可数的，如人的身高。
2. **概率分布**：随机变量的每一个可能的值对应一个概率，这些概率构成了随机变量的概率分布。离散型随机变量的分布用概率质量函数（PMF）表示，连续型随机变量的分布用概率密度函数（PDF）表示。
3. **期望与方差**：
- **期望**（数学期望）是随机变量所有可能取值与其对应概率乘积的加权平均，反映了随机变量的平均取值。对于离散型随机变量，期望为\( E(X) = \sum x P(x) \)，对于连续型随机变量，期望为\( E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx \)。
- **方差**（Var(X)）衡量随机变量的波动程度，它等于期望与期望的平方之差，即\( Var(X) = E[(X - E(X))^2] \)。方差越大，随机变量的取值越分散。
4. **正态分布**（高斯分布）：是一种连续型概率分布，具有对称性和单峰性，其中μ是平均值，σ是标准差。正态分布的密度函数形式为\( f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \)。在标准正态分布中，μ=0, σ=1。
5. **系统可靠性**：在给定的系统中，各部件正常工作的概率可以用来计算整个系统的可靠性。例如，如果三个元件的正常工作概率都是P，那么系统正常工作的概率可以是P+P^2-P^3。
6. **伯努利试验**：一次试验只有两种结果，成功与失败，且每次试验成功的概率p保持不变。基于多次伯努利试验，可以求得成功次数的期望和方差。
7. **条件概率**：已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。例如，家庭有一个女孩的情况下，另一个孩子是男孩的概率。
8. **保险精算**：在保险业务中，保险公司通过设定合理的保费和赔偿金额，使得预期收益为正。这里涉及概率和期望值的计算。
9. **正态分布性质**：在正态分布中，数据落在μ±σ内的概率约为0.6827，落在μ±2σ内的概率约为0.9545，落在μ±3σ内的概率约为0.9973。如果一个数据点落在非常远离均值的区间，表明发生了小概率事件，这可能意味着数据异常或模型不适用。
10. **随机变量的线性组合**：对于线性组合η=aξ+b，其期望和方差可以通过随机变量ξ的期望和方差来求解。题目中的η满足E(η)=1，D(η)=11，可以通过线性代数关系找到a和b的值。
11. **标准差的应用**：在独立重复试验中，成功次数的标准差最大值出现在成功概率为0.5时。
12. **正态分布的应用**：可以用于描述体重、成绩、身高等各种连续性随机变量的分布，例如题中提到的男性体重正态分布，可以根据正态分布密度函数求解特定区间内的概率。
通过上述习题和知识点，我们可以看到随机变量及其分布在实际问题中的广泛应用，包括可靠性分析、保险精算、质量检验等领域。掌握这部分知识，不仅能够提高解决实际问题的能力，还能为后续深入学习概率论与数理统计奠定坚实基础。
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