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线性系统理论-第五章:3最小维观测器(1).ppt
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六、最小维状态观测器
上一节研究了
K
x
观测器的一般形式:
根据定理
(5-12)
,存在
r
�
n
矩阵
P
,
使得
K
=
EP
+
MC
根据定义
5-1
,
K
=
I
时称(
5-29
)为状态观测器
。
1
1.状态观测器的维数
现在提出的问题是:状态观测器的维数
r
是否
可以降低?可能的最小值是多少?因为维数的降低
,意味着观测器可具有较为简单的形式,从而使工
程实现更加方便。因此研究降维状态观测器以及最
小维状态观测器的设计问题就成为观测器理论的重
要课题之一。
考虑
n
维线性时不变动态方程
2
若假定
rank
C
=
q
,那么输出
y
实际上已经给出了部
分状态变量的估计。显然,为了估计全部状态,
只须用一个低阶的观测器估计出其余的状态变量
就可以了,也就是说,状态观测器的维数显然可
比
n
低。
定理
5-17
若系统(
A
,
B
,
C
)可控可观测,且
rank
C
=
q
则系统的
状态观测器
的最小维数是
n
q
证明
根据观测器的结构条件(参见定义
5-1
和定
理
5-12
),对于状态观测器要求
3
其中
P
是
r
×
n
阵,且满足
PA
-
FP
=
GC
。要使上式
有解,应有
故
P
的最小维数
r
min
=
n
q
而已知
所以
4
注:
定理
5-12
的证明中没有用到
(
A
,
C
)
可观测的假
设。但下面的分析将表明,只有
(
A
,
C
)
可观测方可
保证所设计的状态观测器之(
F
,
E
)
可观测。
又因为
P
r
�
n
的行数与观测器的维数
r
必须一致,故知
r
=
n
q
这就是观测器的最小维数。
证完。
2.
最小维数状态观测器的构造
不妨假定
C
=[
C
1
C
2
]
,这里
C
1
,
C
2
分别是
q
×
q
和
q
×
(
n
�
q
)
矩阵,而且
rank
C
1
=
q
。
分以下几个步骤来具体建立最小维数的状态观
测器。
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