堆与堆排序.ppt

堆和堆排序 堆的定义：堆是满足特定性质的完全二叉树。对于一个含有n个元素的序列 {a1, a2, …, an}，如果满足ai ≤ a2i 或 ai ≥ a2i，則称该序列为小根堆或大根堆。小根堆指的是每个非叶子节点的值小于或等于其孩子节点的值，而大根堆是每个非叶子节点的值大于或等于其孩子节点的值。 堆排序：堆排序是一种基于堆的排序算法。基本思想是首先将待排序的序列建成一个堆，然后不断输出堆顶的元素，并将剩余元素重建成一个新的堆，直至所有元素都被排序。堆排序的实现需要解决两个问题：如何由一个无序序列建成一个堆？如何在输出堆顶元素后，调整剩余元素为一个新的堆？ 堆的调整：堆的调整是指在输出堆顶元素后，调整剩余元素为一个新的堆的过程。解决方法是：输出堆顶元素之后，以堆中最后一个元素替代之；然后将根结点值与左、右子树的根结点值进行比较，并与其中小者进行交换；重复上述操作，直至叶子结点，将得到新的堆。 建堆：建堆是指将一个无序序列转换为一个堆的过程。解决方法是：将序列中的元素逐个加入堆中，并在加入每个元素时，对堆进行调整，使其满足堆的性质。 堆排序的实现：堆排序的实现可以通过以下步骤来完成： 1. 将待排序的序列建成一个堆。 2. 输出堆顶的元素。 3. 将剩余元素重建成一个新的堆。 4. 重复步骤2和3，直至所有元素都被排序。 堆排序的时间复杂度为O(n log n)，空间复杂度为O(1)。堆排序是稳定的排序算法，适用于大规模数据的排序。 堆的应用：堆的应用非常广泛，例如： 1. 排序算法：堆排序是一种常用的排序算法。 2. 优先队列：堆可以用来实现优先队列，例如 Job Scheduling、Resource Allocation等。 3. 图算法：堆可以用来解决图论问题，例如最短路径、最小生成树等。 堆和堆排序是一种重要的数据结构和算法，广泛应用于计算机科学和其他领域。