【算法分析与设计实验上机考试】
本次上机考试主要涉及三个知识点,分别是:动态规划、矩阵计算以及图论中的最短路径问题。下面分别进行详细的解析:
1. **动态规划——追及问题**
李老师追车问题是一个典型的动态规划问题。问题的核心在于找出李老师在不同时间段跟随的不同骑手,以及他在每个时刻的最佳选择。可以定义一个状态数组,其中状态表示李老师在某个时间点跟随的骑手。通过遍历所有骑手,更新李老师在每个时间点的状态,直到找到最优解。状态转移方程可以表示为:`dp[t] = max(dp[t], dp[t - Ti] + Vi * (Ti - t))`,其中`dp[t]`表示李老师在时间`t`时的到达时间,`Vi`是骑手的速度,`Ti`是骑手的出发时间。`dp[N * 60]`即为李老师的到达时间。
2. **矩阵计算——最大子矩阵和**
这是一个经典的二维数组中最小子矩阵和的问题,可以使用Kadane's algorithm解决。遍历矩阵一次,找到每一行的最大子序列和,再遍历这些最大子序列和,找到整个矩阵的最大子矩阵和。在每次迭代中,记录当前行的最大子序列和`maxSum`和全局最大子序列和`globalMaxSum`,并更新这两个值。`globalMaxSum`即为最大子矩阵和。
3. **图论——无冲突选课问题**
此问题可以转化为图的顶点覆盖问题,将课程看作图的节点,时间冲突的课程视为相邻节点。李明能选的最大课程数等于图的最小顶点覆盖问题的解。可以使用贪心策略解决,按照课程出现的频率排序,优先选择出现次数多的课程,因为这样可以覆盖更多的冲突。若两个课程的出现次数相同,则按任意顺序选择,直到无法再添加新的课程而不产生冲突。
对于每个问题,都需要编写程序实现上述逻辑,并设计测试数据进行验证。例如,对于追车问题,可以设计包含不同速度和出发时间的骑手数据;对于最大子矩阵和,可以构造包含正负数的矩阵;对于无冲突选课问题,可以创建具有多种冲突模式的课程表。测试数据应覆盖各种边界条件,如相同速度的骑手、全负数矩阵、完全冲突的课程等,以确保程序的正确性。
在编程实现时,注意效率优化,如使用动态规划减少重复计算,以及使用合适的数据结构(如优先队列或哈希表)提高查找效率。同时,输出结果需满足题目要求的格式,例如保留特定精度的数值。在测试过程中,对程序进行调试和性能评估,确保其在给定限制下能够正确且高效地运行。