1、 行 列 式
1.
n
行列式共有
n
2
个元素,展开后有
n!
项,可分解为
2
n
行列式;
2. 代数余子式的性质:
①、
A
ij
和
a
ij
的大小无关;
②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为 0;
③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为
A
;
3. 代数余子式和余子式的关系:
M
ij
(1)
i j
A
ij
4. 设
n
行列式
D
:
将
D
上、下翻转或左右翻转,所得行列式为
D
1
,则
D
1
(1)
n( n1)
2
A
ij
(1)
i j
M
ij
D
;
D
;将
D
顺时针或逆时针旋转
90
,所得行列式为
D
2
,则
D
2
(1)
将
D
主副角线翻转后,所得行列式为
D
4
,则
D
4
D
;
5. 行列式的重要公式:
①、主对角行列式:主对角元素的乘积;
②、副对角行列式:副对角元素的乘积
(1)
n( n1)
2
n(n1)
2
将
D
主对角线翻转后(转置),所得行列式为
D
3
,则
D
3
D
;
;
③、上、下三角行列式(
◥ ◣
):主对角元素的乘积;
④、
◤
和
◢
:副对角元素的乘积
(1)
⑤、拉普拉斯展开式:
A O
C B
A C
O B
n( n1)
2
;
C A
B O
O A
B C
(1)
m n
A B A B
、
⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积;
⑦、特征值;
6. 对于
n
阶行列式
A
,恒有:
E A
n
(1)
k
S
k
nk
,其中
S
k
为
k
阶主子式;
k 1
n
7. 证明
A 0
的方法:
①、
A A
;
②、反证法;
③、构造齐次方程组
Ax 0
,证明其有非零解;
④、利用秩,证明
r(A) n
;
⑤、证明 0 是其特征值;
2、 矩 阵
1.
A
是
n
阶可逆矩阵:
A 0
(是非奇异矩阵);
r(A) n
(是满秩矩阵)
A
的行(列)向量组线性无关;
齐次方程组
Ax 0
有非零解;
b R
n
,
Ax b
总有唯一解;
A
与
E
等价;
A
可表示成若干个初等矩阵的乘积;
A
的特征值全不为 0;
A
T
A
是正定矩阵;