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SCI论文理论推导的复现

毕业设计

需积分: 0 0 下载量 76 浏览量 2024-05-11 14:06:06 上传评论收藏 301KB PDF 举报

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14页

分布式优化领域的理论研究成果，论文《Global Optimization: A Distributed Compensation Algorithm and Its Convergence Analysis》研究了一类带全局耦合约束的分布式优化问题，并提出了一种基于补偿方法的分布式优化算法，可以在不交换耦合约束信息的情况下求解全局优化问题。本文档对该文定理2以前的理论分析做了完整的复现，梳理出了算法收敛的理论分析过程，欢迎与大家交流。

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问题：

( )

min

s.t.

A x b









其中

x

，

, :

fh →





，

b

，



定义变量：

( )

 

, , ,

m n m

s mn

X x x x

x vec X

A A A A



=

 =  

=



拉普拉斯矩阵：

mn mn

m m n

L L L I



 =  

且：

( )

f x f x



，

( )

h x h x



所以问题等价为：

( )

min

s.t. 0

Ax b h x

Lx x



=

= 

令

 

, , , ,

ms mn ms

A diag A A A b b



=  =   1

建立拉格朗日函数：

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

, , ,

x y d f x y Ax b d h x x

f x Ax b y h x d x

x y d f x A y h x d

x y d Ax b

x y d h x

dxL











  





 = + − + −

= + − + −

  =  + +  −

  = −

  =

  = −

提出分布式算法：

( ) ( ) ( )

( )

1 1 1

i i i i i i j i i

k k k k i k k ij k k i k k

i j i

i i i i i j

k k k i k k ij k k

i j i

i i i j

k k ij k k

i j i

i i i j

k k ij k k

i j i

x x f x A y L x x h x d

y y A x s L y y

s s L y y

L x x

  







=

+ + +

=

+ + +

=



= −  + − + − + 









= + − + + −









= − −





= − −



( ) ( )

( )

(

)

( )

1 1 1

i i i j

k i k k ij k k

i j i

i i i j

k k ij k k

i j i

h x n L d d

n n L d d



=

+ + +

=













+ + + −









= − −











算法写为向量形式：

( ) ( )

( )

k k k k k k k k k

k k k k k k

k k k

k k k k k k

k k k

x x f x A y x h x d

y y Ax b s y

s s y

d L

d h x n d

n n d

  











= −  + − + + 





= + − + −







=−









=−





= + + −









=−







若取

0 0 0 0 0 0

, ,

xyd

Ls L r n L v



= = =

，算法等价于：

( ) ( )

( )

k k k k k k k k k

k k k k k k

k k k

k k k k k k

k k k

d d

x x f x A y h x d x

y y Ax b r y

r r y

d d h x v d

  











= −  + − + +





= + − + −







=−









=−





= + + −









=−







一、最优解条件：



是原问题的最优解，则有如下关系

( ) ( )

( )

0, 0, 0

f x A y x h x d

Ax b L r

y x d

d d h x v

L d











      



  

    

 + − + +  =

− + =

= = =





= + + −





二、收敛性分析：

◆ 几个重要定理：

( )

( ) ( )

0 ,

x P x y P x x y

P x P y x y x y



− −   

−  −  

在凸集中

分析方向：建立李亚普洛夫函数，建立各变量于原变量间的关系

（一）先分析变量

，令

( )

x k k

V x x x



=−

取

( ) ( )

( )

 

1k k k k xk k k kxk

x x f x A Lx d xLyh

   



= −  + − + + =

( ) ( )

( )

   

( )

 

( )

 

( )

1 1 1

1 1 1 1

x k x k

k k k k k

k k k k k k

V x V x

x x x x

x x x x x x

x x x x x x x x







+ + +





+ + +





+ + + +

−

= − − −

= − − + − −

= − − + − − + −

−+

−

由

( )

0P x x P x y



− − 

可知：

( )

 

( )

 

( )

 

( )

 

( )

x x x P P x





− − = − − 

因此：

( ) ( )

( )

 

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

x k x k

k k k k

k k k k k k k k k k k k

k k k k k k k k

x k

V x V x

x x x x x

x x x x x f x A y h x d x x

x x x x f x A y h x









  



  

−

 − − + − −

= − − + − −  + − +  + −

= − − − −  + − +  +

依照梯度不等式：

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x y f x f x f y x y f y



−   −  − 

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

1 1 1 1

1 1 1

k k k k k

k k k k

k k k k k

k k k k k k k

k k k k k

x x f x

x x f x x x f x

x x f x f x x x f x x x f x

x x f x f x f x f x f x f x

x x f x f x f x f x

f f x



















+ + + +





+ + +





+ + +

−

= −  + − 

= − −  − + −  + − 

 − −  − + − + −

= − − 

− + 

−

− + −

−

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

1 1 1k k k k k

x f x f x x x f x





+ + +

−  −  + −

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