《概率论与数理统计》二重积分.pdf

《概率论与数理统计》中的二重积分是高等数学中的一个重要概念，它在处理二维空间的积分问题时起着核心作用。二重积分主要应用于计算平面区域的面积、求解物理问题（如质量、力矩等）、概率分布以及期望值的计算等领域。 在直角坐标系下计算二重积分，通常遵循以下步骤： 1. **画出区域 D**：理解题目给出的条件，例如边界方程或图形描述，画出积分区域 D 的图形。 2. **确定积分变量的范围**：明确 x 和 y 的取值范围。对于 x，可能是常数到函数，或者是函数到常数；对于 y，同样如此。需要根据区域 D 的形状来确定。 3. **代入计算**：将被积函数写成正确的形式，然后分别对 x 和 y 进行积分。注意，被积函数要保持原样，直到最后一步再进行计算。 例如，对于题目中提到的计算 `∫∫D xy dxdy`，其中 D 由直线 y = 1, x = 2 和曲线 xy = 1 围成，我们可以先画出区域 D，确定 x 和 y 的范围，然后分别对 x 和 y 积分。在实际计算中，可能需要将 x 或 y 视为常数，对另一个变量积分，然后再对剩余的变量积分。 此外，二重积分的计算技巧还包括利用积分区域的对称性简化计算。比如，如果被积函数关于 x 轴或 y 轴对称，且是奇函数，那么积分结果为零。而如果函数关于原点对称，且积分区域也关于原点对称，那么积分结果等于四倍的函数在第一象限的积分。 在极坐标下计算二重积分是另一种常见的方法，尤其是在处理不规则区域或圆形区域时。转换到极坐标 `(ρ, θ)`，其中 ρ 表示原点到点的距离，θ 是该点与 x 轴的夹角。直角坐标 (x, y) 与极坐标 (ρ, θ) 之间的转换关系是 `x = ρ * cos(θ)` 和 `y = ρ * sin(θ)`。 计算极坐标下的二重积分，需要先确定 ρ 和 θ 的范围，然后应用极坐标下的积分公式 `∫∫D f(ρ, θ) ρ dρ dθ`。在处理某些特定类型的函数和区域时，这种方法可以简化计算过程。 例如，题目中提到了计算 `∫∫D (2cosx + 2sinx) dxdy`，其中 D 是由曲线 `x^2 + y^2 = 4` 围成的区域。由于这是一个关于原点对称的圆，我们可以利用极坐标转换和奇函数的性质简化计算。 理解和掌握二重积分的计算方法，无论是直角坐标还是极坐标，是学习概率论与数理统计以及其他相关领域数学的基础。熟练运用这些技巧能够帮助我们解决更复杂的问题，如多元随机变量的概率分布和期望值的计算。