《对数函数、指数函数和幂函数：作业题解析与知识点详解》
对数函数、指数函数和幂函数是数学中的基本概念，它们在解决各种数学问题和实际应用中起着至关重要的作用。本章我们将深入探讨这些概念，并通过15套精选作业题及其解析来加深理解。
我们来理解对数的概念。对数是一种逆运算，当一个数的幂等于另一个数时，我们可以用对数来表示这个幂。例如，如果 \( a^b = N \)，那么 \( b \) 就是以 \( a \) 为底 \( N \) 的对数，记作 \( \log_a N = b \)。这里的 \( a \) 称为对数的底数，\( N \) 称为真数。特别地，以10为底的对数被称为常用对数，记作 \( \log_{10} N \)，而以自然常数 \( e \) 为底的对数称为自然对数，记作 \( \ln N \)。
对数与指数的关系密不可分。如果 \( a > 0 \) 且 \( a \neq 1 \)，那么 \( a^x = N \) 相当于 \( \log_a N = x \)。对数恒等式包括 \( \log_a a^x = x \) 和 \( \log_a \frac{1}{a^x} = -x \)。
对数的性质包括：1的对数是0，底数的对数为1，零和负数没有对数。这些性质在解决对数问题时非常有用。
对于填空题，例如第1题，正确命题的个数为4，因为所有选项都符合对数的定义和性质。第2题，正确的结论是①和②，因为 \( \log_{10} 10 = 1 \) 和 \( \ln e = 1 \)。第3题，实数 \( a \) 的取值范围是 \( 2<a<5 \) 以满足对数的定义。第4题，解集是 \( \{x | x = 19\} \)，因为 \( 3 \log_2 x = 14 \) 等价于 \( \log_2 x = \frac{14}{3} \)。第5题，正确的关系式是①，因为 \( b = a^{5c} \)。第6题，表达式的值为8。第7题，12x-的值是24。第8题，\( x = 3 \)。第9题，\( ba = 10^{-1} \)。
对于解答题，例如第10题，(1)中的指数式可以转换为对数式，(2)要求利用对数的性质解出 \( x \) 的值。第11题，如果 \( \log_a x = 4 \) 和 \( \log_a y = 5 \)，则 \( A = \frac{121}{232x^y} \) 的值需要利用对数的运算规则求解。第12题，如果 \( \log_a 3 = m \) 和 \( \log_a 5 = n \)，那么 \( a^{2m+n} \) 的值可以通过指数和对数的相互转化得到。第13题，(1)需要将对数式转换为指数式，然后解出 \( x \) 的值；(2)要求用 \( a \) 表示给定的对数。
理解和掌握对数函数、指数函数和幂函数的概念、性质和运算规则是学习数学的基础，通过解决实际问题，我们可以深化对这些概念的理解，提升我们的数学技能。
