【知识点详解】
在数学的学习中，正方形是一个重要的几何图形，它是平行四边形、矩形和菱形的特殊情况。正方形的判定是初中数学的重要内容，尤其在八年级的几何学习阶段。华东师范大学版的数学教材中，针对20.4章节的“正方形的判定”，学生需要掌握以下知识点：
1. **正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系**：
- 正方形是四个内角均为90度的菱形，同时也是对角线互相垂直且相等的矩形。
- 从平行四边形的角度，要成为正方形，需要增加条件如对角线相等且互相垂直。
- 从矩形的角度，添加条件如邻边相等可以得到正方形。
- 从菱形的角度，增加条件如对角线相等或者有一个90度的内角即可转化为正方形。
2. **正方形的判定定理**：
- **对角线判定法**：如果一个四边形的对角线互相垂直且相等，那么这个四边形是正方形。
- **邻边判定法**：如果一个四边形的邻边相等且对角线互相垂直，那么它是正方形。
- **内角判定法**：如果一个四边形的四个内角都是直角，并且对角线互相垂直，那么它是正方形。
- **菱形+直角判定法**：如果一个菱形有一个90度的内角，那么它是正方形。
- **矩形+邻边相等判定法**：如果一个矩形的邻边相等，那么它是正方形。
3. **应用正方形的性质和判定定理**：
- 在解决实际问题或证明过程中，可以利用正方形的性质（例如，所有边等长、所有角等大、对角线互相垂直且相等等）和判定定理来推导和验证结论。
- 例如，题目中的问题1和2，需要填充的条件正是这些判定定理的应用，如矩形加上“邻边相等”或“对角线垂直”即可成为正方形，菱形加上“对角线相等”或“有一个90度角”也可以转化为正方形。
4. **综合推理和证明**：
- 在拓展与延伸部分的题目中，需要通过分析图形和应用正方形的性质来证明特定的四边形是正方形。例如，问题5通过证明矩形的一条角平分线将两个直角分成两个45度角，可以得出四边形的相邻两边相等且垂直，从而证明它是正方形。
- 题目6和7则需要更深入地理解正方形的性质，如角平分线、等腰直角三角形等，通过构建全等三角形或等量关系来证明四边形是正方形。
5. **问题解决能力的提升**：
- 探究性问题，如问题7，不仅要求学生掌握正方形的判定定理，还需要他们能够根据图形特点灵活运用这些知识，例如，当∠A为直角时，四边形AEDF成为矩形，而当∠A为直角且点D位于BC中点时，四边形AEDF成为正方形。
6. **实际应用**：
- 在妙趣角的问题中，将实际情境与几何知识相结合，如会标的面积计算，需要利用正方形的面积公式以及勾股定理来求解。另外，通过切割和重组纸片来构造正方形，锻炼了学生的实践操作能力和空间想象能力。
正方形的判定不仅是理论知识的学习，也是逻辑推理、分析问题和解决问题能力的培养。通过这样的同步练习，学生可以加深对正方形的理解，提高数学素养。
