【知识点详解】
1. **分式的基本性质**：在题目中多次出现分式，涉及到分式的值为零、分式有意义的条件。分式的值为零的条件是分子等于零，而分母不为零。分式有意义的条件是分母不等于零。
2. **分式方程的解法**：题目中有解分式方程的要求，解分式方程通常需要找到公共分母，将方程转化为整式方程，然后解出未知数。注意在解分式方程时要检验解是否使原分式方程的分母为零，避免产生增根。
3. **不等式与方程的结合**：例如题目中的"若x的值使得分式值为零的值恒为正数，则x的取值范围是"，这需要利用不等式来确定x的范围。
4. **代数式的运算**：题目中包含多项式运算，如`x^2 - 5x - 1997 = 0`这样的二次方程，可以通过配方法或求根公式解出x的值。
5. **根与系数的关系**：对于二次方程，其根与系数之间存在特定关系，例如题目中涉及到的二次方程的解可能用于求解其他代数式。
6. **绝对值**：在一些题目中，如"没有意义，那么a的值为"，涉及到绝对值的定义，绝对值为0时，其内部必须为0。
7. **不等式组的解**：题目中涉及不等式组，需要解出变量的取值范围，例如"－2m > n > 0"。
8. **距离与速度问题**：题目中的"甲乙两人相距k千米，他们同时乘摩托车出发"是一个典型的追及问题，需要根据速度和时间的关系来解决。
9. **比例问题**：在"甲乙两人相向而行，r小时后并行；若同向而行，t小时后并行"中，考察的是速度的比例关系。
10. **几何与坐标系**："直线一定经过"的问题可能涉及到直线上点的坐标特征。
11. **函数与序列**：部分题目涉及到函数的定义，如"f(x)"表示当x取某个值时y的值，这里可能涉及到数列的求和。
12. **分式方程的增根**：方程解出的x值如果使原分式方程的分母为零，就是增根，需要避免这种情况。
13. **方程的解的讨论**：如"是否存在某值使得方程无解"，需要分析方程的判别式来判断。
14. **实际应用问题**：如"开发公司生产的新产品加工"和"书店购书销售"的问题，涉及到实际经济决策，需要计算成本、时间和效益。
15. **利润与利润率**：在书店购书的问题中，计算了利润和利润率，涉及到利润=售价-成本的概念。
16. **比例与工作效率**：甲乙两个工厂加工产品的题目，涉及到工作效率和工作时间的比较，以及最优解决方案的选择。
以上是基于题目内容提炼出的数学知识点，涵盖了分式、分式方程、不等式、代数式、方程的解、绝对值、距离与速度问题、比例问题、函数与序列、方程的增根、实际应用问题以及利润计算等多个方面。这些知识点都是八年级下学期数学学习的重点内容。
