双曲线是一种重要的几何图形，在解析几何中占有举足轻重的地位。双曲线的标准方程是研究双曲线性质的基础，它可以分为两种形式：一种是中心在原点，标准方程为 \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)，另一种是中心在原点，标准方程为 \(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\)。其中 \(a\) 表示实轴的半长度，\(b\) 表示虚轴的半长度，而 \(c\) 是焦距的一半，满足 \(c^2=a^2+b^2\)。
选择题的第一题中，动点 P 到两个定点 \(F_1(0,4)\) 和 \(F_2(0,-4)\) 的距离之差为 6，根据双曲线的定义，这个差值等于 2a，所以 \(2a=6\)，从而得出曲线方程是 \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{17}=1\) 或 \(\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{17}=1\)。因此正确答案是 C。第二题中，“ab<0”意味着 \(x^2\) 和 \(y^2\) 的系数乘积为负，这是双曲线的必要条件，但不是充分条件，因为当 \(a=b=0\) 时，方程可以表示坐标轴，故答案是 A。
第三题中，动圆与两个圆 \(x^2+y^2=1\) 和 \((x-8)^2+y^2=1\) 都相切，这两个圆分别表示单位圆和以 \(F(8,0)\) 为圆心，半径为1的圆。动圆圆心到这两个圆的距离相等，因此其轨迹是一条双曲线的一支，答案是 C。第四题中，以双曲线上点 P 与焦点 F 为直径的圆与圆 \(y^2=a^2x\) 的位置关系是内切或外切，这取决于点 P 位于双曲线的哪一支以及与焦点 F 的相对位置，答案是 B。
第五题考察直线 PF 斜率的范围。双曲线 \(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\) 的左焦点为 \(F(-c,0)\)，左支下半支上的点 P 满足 \(x\leq -a\)，因此直线 PF 斜率 k 满足 \(k = \frac{y}{x+c}\)，其中 \(y\geq 0\)，将 \(y^2=a^2(b^2+x^2)\) 代入，得到 \(k\) 的范围是 \((-∞,0)\cup(1,+∞)\)，答案是 B。
第六题中，椭圆和双曲线有相同的焦点，设点 P 位于这两曲线的交点，根据椭圆和双曲线的定义，有 \(||PF_1|-|PF_2||=2a'\) 和 \(||PF_1|+|PF_2||=2c\)，解得 \(||PF_1||=m-a\)，\(||PF_2||=2a+m\)，所以 \(||PF_1|^2+|PF_2|^2=(m-a)^2+(2a+m)^2=4c^2\)，化简后得 \(||PF_1||\cdot ||PF_2||=am\)，因此 \(||PF_1|^2+|PF_2|^2=2am\)，答案是 C。
填空题第七题中，双曲线的一个焦点是 \((3,0)\)，所以 \(c=3\)，由于 \(c^2=a^2+b^2\)，而 \(b^2=c^2-a^2\)，所以 \(m=a^2\)，代入 \(c^2=9\) 得到 \(m=9-3^2=-2\)。第八题中，过双曲线的焦点且垂直于 x 轴的弦的长度由通径公式给出，通径长度等于 \(\frac{2b^2}{a}\)，所以弦长为 \(2\frac{ab^2}{c^2}\)。
解答题第九题中，由于双曲线过点 A（-2，4）、B（4，4），并且一个焦点是 \(F_1(1,0)\)，可以设双曲线方程为 \(\frac{(x-h)^2}{k^2}-\frac{y^2}{l^2}=1\)，代入点 A 和焦点 \(F_1\) 的坐标求解，得到 \(h=0\)，\(k^2=5\)，\(l^2=11\)，所以另一个焦点 \(F_2\) 的轨迹方程是 \(\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{11}=1\)。
第十题，假设存在这样的 \(a\)，使得 A、B 关于直线 \(y=2x\) 对称，联立直线方程 \(y=ax+1\) 和双曲线方程 \(\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{1}=1\) 解出交点坐标，然后利用对称性检验，发现不存在这样的 \(a\)，因为对于任何 \(a\)，直线 \(y=ax+1\) 与 \(y=2x\) 的斜率之差不等于 \(-2\)，不符合对称条件。
第十一题中，通过三角形 ABP 和 ACP 的相似性，可以推算出炮击 P 地的方位角。根据题意，信号从 A 到 B、C 的传播时间差是 \(6/1\) km/s = 6 秒，因此 P 到 B、C 的距离差是 6 km。根据角度和距离关系，可以求出炮击 P 地的方位角为北偏东 30°。
总结，本练习题集主要涉及了双曲线的标准方程、焦点、渐近线、离心率、通径等概念，以及双曲线与椭圆的相关性质，通过解题加深了对双曲线几何特性的理解。
