双曲线及其标准方程.pdf
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2023-11-02
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§9
.
6
双曲线
i. 双曲线的概念
平面内动点 P 与两个定点 F
i
、
F
2
(|F
I
F
2
|
=
2
C
>0)
的距离之差的绝对值为常数 2a
(2a<2c),则点 P 的轨迹叫 ________________ .这两个定点叫双曲线的 __________ ，两焦点
间的距离叫 _________ .
集合 p = {M|||MF
i
|—|MF
2
||= 2a},
|F
I
F
2
|
=
2
C
,其中 a、
C
为常数且 a>0,
C
>0
:
(1)当________ 时，P 点的轨迹是双曲线；
⑵当 a =
C
时，P 点的轨迹是 ________________ ;
⑶当_________ 时，P 点不存在.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
X
2
y
2
i
尹芦
1
(a>0, b>0)
y
2
X
2
1
訂孑
1
(a>0, b>0)
图形
性
质
范围
X
> a 或
X
<
— a, y€ R
X
€ R, y<— a 或 y > a
对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点 A
i
(— a,0), A
2
(a,0) A
i
(0, — a), A
2
(0, a)
渐近线
y
=±
bx
y
=±
ax
离心率
e= :，e € (1 ,+
B
)，其中
C
=7
a
2
+ b
2
实虚轴
线段
A
I
A
2
叫做双曲线的实轴，它的长|A
i
A
2
|= 2a；线段 B
1
B
2
叫做双曲线 的虚
轴，它的长|B
i
B
2
|— 2b; a 叫做双曲线的半实轴长， b 叫做双曲线的 半虚轴长
a、b、
C
的关系
C
2
= a
2
+ b
2
(c>a>0 , c>b>0)
［难点正本疑点清源］
1. 双曲线中 a, b,
C
的关系
双曲线中有一个重要的 Rt△ OAB(如右图)，
它的三边长分别是 a、b、c.易见
C
2
= a
2
+ b
2
,
C
i
若记 / AOB = 0,贝 U e= i= .
a cos 0
2. 双曲线的定义用代数式表示
为 ||MF
i
|—|MF
2
||= 2a,其中
2a<|F
i
F
2
|,这里要注意两点：
(1)距离之差的绝对值.
(2)2a<|F
i
F
2
|.
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