这篇文档实际上是一个数学测试题集，包含了九年级数学上学期的内容，主要涉及一元二次方程的相关知识。以下是根据题目内容提取的知识点：
1. **一元二次方程的定义**：一元二次方程是形如ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的方程，其中a、b、c是常数，a不等于0。
2. **一元二次方程的解法**：
- 方程x² - 2x - 1 = 0 可以通过配方法、公式法或因式分解法求解。
- 例如，方程x(x + 3) = x + 3可以先化简，然后因式分解求解。
3. **韦达定理**：如果一元二次方程ax² + bx + c = 0的两个根为x₁和x₂，则x₁ + x₂ = -b/a，x₁·x₂ = c/a。
4. **根的判别式**：对于方程ax² + bx + c = 0，判别式Δ = b² - 4ac决定了方程根的性质。当Δ > 0时，方程有两个不同的实数根；当Δ = 0时，方程有一个重根；当Δ < 0时，方程无实数根。
5. **抛物线的标准方程**：y = ax² + bx + c，其中a、b、c是常数，a不等于0，a决定开口方向，b决定对称轴的位置，c是y轴截距。
6. **抛物线的顶点坐标公式**：对于y = a(x - h)² + k，顶点坐标为(h, k)，h是对称轴与x轴交点的x坐标，k是顶点的y坐标。
7. **抛物线与坐标轴的交点**：通过解一元二次方程来找出抛物线与x轴或y轴的交点。
8. **二次函数图像**：二次函数的图像通常是抛物线，开口方向由a决定（a > 0时开口向上，a < 0时开口向下），对称轴由-b/2a决定，顶点坐标通过配方得到。
9. **方程解的存在性**：如果一元二次方程的判别式Δ < 0，则方程无实数根；若Δ = 0，方程有一个重根；若Δ > 0，方程有两个不同的实数根。
10. **方程解的求解**：
- 直接开平方：适用于形如(x - p)² = q的方程，解为x = p ± √q。
- 配方法：将一般形式的一元二次方程转换为完全平方的形式求解。
- 公式法：使用求根公式x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a求解。
11. **增长率问题**：根据题目描述，求出增长的百分率，例如从x到y的增长百分率为[(y - x) / x] * 100%。
12. **函数的平移**：对于二次函数y = ax² + bx + c，向左平移h单位，向上平移k单位后的解析式为y = a(x + h)² + k。
13. **方程的同解原理**：如果一个方程的解也是另一个方程的解，那么这两个方程互为同解方程。
14. **方程根的性质**：如果x = r是方程ax² + bx + c = 0的根，那么x = r也是方程ax² + bx + c = k的根，其中k是常数。
这些知识点涵盖了初中数学中的基础一元二次方程及其应用，包括解法、图形性质、解的性质等。
