【知识点详解】
1. 开普勒第三定律：开普勒第三定律指出，行星绕太阳运动时，其公转周期的平方与其轨道半径的立方成正比，即 \( T^2 \propto a^3 \)。这个定律不仅适用于行星，也适用于卫星和其他天体系统。定律中的常数 k 与中心天体的质量有关，而不是行星的质量。
2. 行星运动速度与半径的关系：根据开普勒第二定律（面积定律），行星在相等的时间内扫过的面积是相等的。如果两颗行星的周期之比为 \( T_A : T_B = 1:8 \)，则轨道半径之比 \( R_A : R_B = 4:1 \)。因为 \( v = \frac{2\pi R}{T} \)，所以运动速率之比 \( v_A : v_B = 2:1 \)。
3. 天体周期计算：木星的轨道半径约为地球轨道半径的 5.2 倍，根据开普勒第三定律，木星绕太阳的周期大约是地球周期的 \( (5.2)^{\frac{3}{2}} \) 倍，即大约 11.86 年。
4. 行星运动规律：行星的轨道不是完美的圆形，而是椭圆形，太阳位于椭圆的一个焦点上。离太阳越近的行星，运动速度越快，周期越短。
5. 天体间引力：牛顿的万有引力定律表明，两个质点间的引力与它们质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比，即 \( F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \)。太阳对行星的引力提供了行星做圆周运动的向心力。
6. 行星运动特征：根据开普勒定律，行星在椭圆轨道上运动，靠近太阳（近日点）时速度最快，远离太阳（远日点）时速度最慢。行星在不同位置扫过的面积速率是恒定的。
7. 椭圆轨道时间关系：在椭圆轨道上，行星从一个焦点到另一个焦点的时间与从另一焦点返回的时间相同，因此，行星在半长轴上的时间比短轴上的时间要长。
8. 万有引力计算：对于均匀质量分布的球体，两球之间的引力可以用万有引力定律计算，考虑球体半径，引力与两球距离平方的减3次方成反比。
9. 万有引力定律应用：物体的重力是由地球对其的万有引力引起的，卫星离地球越远，受到的引力越小，但提供向心力的引力依然使得卫星保持轨道运动。
10. 地球表面重力加速度：在地球表面，物体的重力等于地球对物体的万有引力，地球表面重力加速度 \( g \) 可以用 \( g = \frac{GM}{R^2} \) 计算，其中 \( M \) 是地球质量，\( R \) 是地球半径。
11. 视重与高度：在加速上升的火箭中，物体的视重等于实际重力减去火箭向上加速的分力。根据牛顿第二定律，可以解出火箭离地球表面的距离与地球半径的关系。
12. 重力加速度随距离变化：在地球外部，物体的重力加速度 \( g' \) 与距离地心的距离 \( r \) 成 \( \frac{1}{r^2} \) 的关系。因此，当距离地心 4R 时，重力加速度是地球表面的 \( \frac{1}{16} \)。
【打算题】
1. 两艘轮船间的万有引力可以通过万有引力定律计算，然后与轮船的重力进行比较。
2. 太阳和地球之间的万有引力计算同样使用万有引力定律。
3. 通过地球绕太阳的周期和轨道半径，可以利用开普勒第三定律和万有引力定律求出太阳的质量。
4. 地球质量和地月距离的计算需要用到地球表面的重力加速度、地球半径、月球的周期以及万有引力定律。
5. 黑洞的最大半径（称为Schwarzschild半径）可以通过光子绕黑洞表面做圆周运动的速度和万有引力定律计算得出。
以上知识点涉及了天体物理学的基础知识，包括开普勒定律、牛顿的万有引力定律以及这些定律在实际问题中的应用。通过这些题目，我们可以深入理解行星运动的基本规律以及天体间相互引力的作用。
