【椭圆的定义及其运用】
椭圆是一种在平面上满足特定条件的点的集合，它的定义基于两个固定的点，称为焦点F1和F2。如果一个点M到这两个焦点的距离之和是一个常数2a（其中2c是两焦点间的距离，a>c），那么这个点M就位于椭圆上。如果a=c，集合P将变为线段F1F2，而当a<c时，集合P为空。在椭圆上，任何一点P与两焦点构成的中心三角形的性质包括：|PF1|+|PF2|=2a，周长为2(a+c)，以及当点P在短轴端点时，中心三角形的面积达到最大值bc。
【双曲线的定义及其运用】
双曲线的定义与椭圆类似，但涉及的是点到两个固定点（焦点F1和F2）的距离之差的绝对值，而非和。如果这个差值是常数2a（其中2c为焦距，a>c），那么点M的轨迹就是双曲线。若2a>|F1F2|，点M不存在；2a=|F1F2|时，轨迹是两条射线；2a<|F1F2|则形成双曲线。双曲线中的中心三角形处理方式也类似，可以通过定义和余弦定理来求解面积和相关性质。
【抛物线的定义及其运用】
抛物线的定义基于一个固定点（焦点F）和一条不经过F的直线（准线l）。如果一个点M与焦点F和准线l的距离相等，那么M就在抛物线上。抛物线的性质包括其对称性和焦点到准线的距离。处理抛物线问题时，通常涉及到找到焦点和准线的关系，以及利用这些关系来解决点的位置和轨迹问题。
【例题解析】
例1中，根据椭圆定义，若点P到F1的距离等于1，则P到F2的距离也是2a-1，因为|PF1|+|PF2|=2a。周长是|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c。若∠PF1F2=120°，可利用正弦定理和面积公式S△PF1F2=|PF1|*|PF2|*sin∠F1PF2求解面积。
例2涉及双曲线，若M到一个焦点的距离是16，根据双曲线定义，M到另一焦点的距离为2a-16。若∠F1PF2=60°，同样使用面积公式求解面积。
【技巧总结】
处理这类问题时，关键在于熟练掌握椭圆、双曲线和抛物线的基本定义和性质，结合几何图形和代数方法，如正弦定理、余弦定理，进行求解。同时，注意运用定义补充条件，以及利用特殊位置（如点在轴上或在特殊角度下）简化计算。
【练习题目】
对于给定的练习题目，如题1和题2，需要应用上述理论来求解。例如，题1可以通过对称性确定点P的位置，进而计算距离和周长；题2则需利用双曲线的定义来找出点M的位置，然后计算面积。对于题目的解答，应确保使用椭圆、双曲线的定义，并结合几何性质来逐步求解。
