数列是数学中的一种基本序列,它按照特定的规律或者公式进行排列的一系列数。数列的概念及其通项是理解数列性质和分析问题的基础。
数列的通项公式是一个用来描述数列中任意一项数值的公式。例如,对于数列1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,…,其通项公式可以表示为an = 1 + 2 + 3 + ... + n,即前n个自然数的和。在这个例子中,A选项是正确的通项公式。
对于选择题中的第二题,如果数列{an}满足an = 2n - 1,那么a5 = 2 * 5 - 1 = 9,所以答案是A。而a5 + a6的计算需要用到数列的前n项和公式Sn = n(a1 + an) / 2。由于题目没有给出a1的具体值,我们无法直接计算a5 + a6的值。
填空题第六题,数列2,-4,6,-8,10,…是奇偶交替的序列,通项公式可以写为an = (-1)^(n+1) * 2n,其中n是序列的项数。
第七题,若数列{an}的前n项和为Sn = n^2 + n,则an = Sn - Sn-1 = n^2 + n - [(n-1)^2 + (n-1)] = 2n。对于第八题,根据题意,an = an-1 / 2,这意味着数列是以1/2为公比的等比数列,因此an = a1 * (1/2)^(n-1),需要给出a1的具体值才能确定an。
在数列的性质中,正确的结论是数列可以看作函数,其图象通常是离散的点。数列的项数可能是有限的,也可能是无限的,而通项的表达式可能不唯一,取决于如何表示同一序列的不同方式。
解答题部分,例如第十题,首先计算数列an = n^2 - n的前3项:a1 = 0, a2 = 2, a3 = 6。然后解方程n^2 - n = 60找到第几项等于60,n=10或n=-6(舍去负值),因此60是数列的第10项。进一步讨论an的符号变化,可以发现an = n(n-1),当n为偶数时an<0,当n为奇数时an>0。至于前n项和Sn=n(n-1)(2n-1)/6,需要对n的值进行分析来判断是否有最大值。
对于第十一题,已知an和Sn之间的关系,可以解出an = Sn - Sn-1 = an-1 + d,从而得到an与an-1的递推关系。而Sn和Sn-1的关系是Sn = Sn-1 + an。
对于等比数列{bn},如果b6 * b5 = 9,那么b5 * b5 = b10 = 9。在等差数列{an}中,若从第10项开始每一项都比1大,那么a10 = a1 + 9d > 1,可以据此求出d的取值范围。
等比数列和等差数列的综合问题需要结合等比数列的乘积性质和等差数列的和的性质来解决。例如,在填充题中,a15 * a45 = a30^2 = 9000,由此可以求出a60的值。
解答题中最后一个问题,如果等差数列{an}的a1,a3,a9成等比数列,那么a3^2 = a1 * a9,结合等差数列的性质可以得出关于公差d的方程,从而求解。
在解决实际问题时,理解数列的概念及其通项公式至关重要,它们是解决数列相关问题的基础工具。无论是选择题、填空题还是解答题,都需要灵活运用这些知识来找到正确答案。通过这样的练习,我们可以提高处理数列问题的能力,更好地理解和应用数列的相关概念。