这些题目涉及的是高中数学中平面解析几何的相关知识点，主要包括了双曲线、椭圆的基本性质、标准方程、离心率的计算以及直线与圆锥曲线的交点问题。以下是详细的解释：
1. 双曲线的标准方程：题目中提到了双曲线的离心率和焦点与抛物线的关系。双曲线的方程一般形式为`x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1`，离心率`e = c/a`，其中`c = sqrt(a^2 + b^2)`是半焦距，`a`是实轴半径，`b`是虚轴半径。通过与抛物线焦点的比较，可以求解出双曲线的具体方程。
2. 椭圆的标准方程：椭圆的标准方程是`x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1`，其中`a > b`，`a`是长轴半径，`b`是短轴半径。离心率`e = c/a`，`c`是焦距的一半。题目中讨论了直线恒与椭圆有公共点的情况，涉及了椭圆的边界条件。
3. 椭圆与双曲线的离心率比较：离心率反映了椭圆或双曲线的形状。椭圆的离心率`e`总是在`0 < e < 1`之间，而双曲线的离心率`e`大于1。题目中比较了不同椭圆和双曲线的离心率大小。
4. 椭圆与直线的唯一交点：椭圆与直线的交点问题，通过联立方程组并分析判别式来判断交点个数。题目中椭圆与直线有且只有一个公共点，利用判别式等于0来解题。
5. 椭圆的离心率计算：通过椭圆上的点与焦点的向量关系来求解离心率。题目中给出了椭圆的一般方程，通过特定的点满足的条件来推导离心率。
6. 双曲线与直线的交点：双曲线的一般方程为`x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1`，题目中给出了双曲线与直线的交点问题，通过联立方程组求解。
7. 椭圆与抛物线的图形识别：题目考察了椭圆和抛物线的标准方程与图形特征，椭圆方程表示椭圆，抛物线方程表示抛物线的开口方向。
8. 椭圆的离心率与中点问题：通过椭圆上的两点及其中点与原点连线的斜率来求解离心率。这里利用了椭圆的第二定义，即椭圆上的点到焦点的距离与到相应准线的距离比等于离心率。
9. 抛物线与圆的最值问题：结合抛物线的定义和圆的几何性质，求解点到圆上的点距离与到抛物线准线距离之和的最小值。这里运用了抛物线的定义和圆的对称性来找到最小值。
通过这些题目，学生可以巩固和深化对平面解析几何中椭圆、双曲线、抛物线等基本概念的理解，掌握它们的性质、方程以及如何通过这些性质解决实际问题。同时，也训练了解析几何中的计算技巧和几何直观。
