【函数单元检测(AA)知识点详解】
1. 映射与函数的概念：
在数学中，映射是一种从一个集合到另一个集合的关系，它将原集合的每个元素唯一地对应到目标集合的一个元素。函数是特殊的映射，要求每一个原集合的元素在目标集合中有且仅有一个像。题目中提到了几个映射的例子，如 f:(x、y)→(2x+y,xy)，要求判断这些映射是否为一一映射。
2. 函数的性质：
- 函数的单调性：如果函数在某个区间上是减函数，意味着随着自变量的增加，函数值是减少的。例如，题目中提到 y=(x+4)2 在某区间上是减函数，这通常发生在对称轴左侧。
- 反函数：如果一个函数在定义域内是严格单调的，那么它可以找到反函数，使得原函数与反函数互为对方的逆运算。例如，题目中问及函数 y=(x∈R，且 x≠) 的反函数是什么。
- 函数的图像：函数 y=2|x| 是一个分段线性函数，图像由两部分组成，分别位于x轴上方和下方，关于y轴对称。
3. 对数函数与指数函数：
- 对数方程：如 log3x 的平方减去 log3x 的2倍等于0，可以通过换底公式和对数性质转化为二次方程来解。
- 指数函数的单调性：如果两个指数函数具有不同的单调性，意味着它们的底数之间存在比较关系。例如，题目要求确定 (a-1)x 和 ()x 的单调性差异，进而比较 M=(a-1) 和 N=()3 的大小。
4. 图像分析：
- 题目中提到的速度曲线可能涉及到物理中的速度变化，通过分析图形可以推断出速度随时间的变化趋势。
- 函数图像的交点：例如，方程 x+lgx=3 和 x+10^x=3 的根α、β，它们的和α+β可能是某个特定值。
5. 定义域与值域：
- 函数 y=lg(x2-x-2)的定义域是 x2-x-2 大于0的解集，而 y= 的定义域则取决于 的取值。要求 A∩B 的值，需要先确定这两个函数的定义域。
- 函数 y=3+ax-1 的反函数的图像恒过定点P，这意味着无论a为何值，反函数图像上的某一点P的坐标是固定的。
6. 计算问题：
- 例如，logαβ+logβα 的值可以通过对数的性质计算得出，而M=(a-1)与N=()3的大小关系可通过比较底数和指数的性质来确定。
7. 解答题：
- 16题要求求解函数的定义域并判断单调性，以及解不等式 f［x(x-)］＜。
- 17题涉及到复合函数的定义域问题，需要考虑内部函数的定义域和外部函数对定义域的限制。
- 18题是一个简单的复利增长问题，可以通过设置方程求解年平均增长率，然后预测2010年的收入。
- 19题讨论了一等品和二等品小麦的平均价格是否公平，需要比较两种价格的加权平均与各自价格的差异。
- 20题考察了奇函数的性质，要求证明函数的单调性，并根据单调性和奇偶性解不等式。
- 21题要求利用已知的奇函数解析式，推导x<0时的解析式，并判断是否存在特定区间使得g(x)的值域为［,］。
这些题目覆盖了函数的多个核心概念，包括定义、性质、图像、运算、单调性、反函数、定义域和值域，以及实际应用问题的解决。解题时需要熟练掌握这些知识点，并能灵活运用。
