这篇文档是关于数学实验课程的一份综合复习资料，包含了多项式积分、极限、微分方程、偏微分以及函数的图形分析等多个知识点。以下是详细的内容解析：
1. **积分计算**：
- 示例1展示了如何使用`Integrate`函数计算函数`f[x] = (1-Cos[x])*(Sin[x])^2`在区间`[0, Pi/2]`上的定积分。
- 示例2计算了`Integrate[x*ArcTan[x], x]`的积分结果。
- 示例3求解了`Limit[Sqrt[x^2+1]-x, x->Infinity]`的极限值，结果为0。
- 示例4展示了如何对二维区域进行双重积分，即`Integrate[f[x,y], {x,0,1},{y,0,1}]`，其中`f[x_,y_] = ArcTan[x*y]`。
- 示例5涉及隐函数求导，求解`y`关于`x`的导数，利用`Solve`和`D`函数。
2. **偏微分**：
- 示例6给出了一个复合函数`z = Exp[-(x^2+y^2)/8]*Cos[x]*Sin[x]`，并分别求得了关于`x`和`y`的偏导数。
3. **分段函数**：
- 示例7定义了一个分段函数`g[x_]`，它根据`x`的值返回不同的表达式，显示了延迟定义函数的用法。
4. **弧长计算**：
- 示例8介绍了如何计算星形线的弧长，使用弧长公式`Integrate[Sqrt[x'[t]^2+y'[t]^2], {t, tmin, tmax}]`，并给出了具体的`x[t]`和`y[t]`的表达式及对应的弧长结果。
5. **函数分析**：
- 示例9展示了如何定义函数`f[x_] = x^4+2*x^3-18*x^2+16`，并求出其二阶导数`f''[x]`。
- 示例10通过`Plot`函数绘制了原函数及其二阶导函数在区间`[-8, 7]`上的图像。
- 示例11使用`FindRoot`找到二阶导数等于0的点，确定函数的凹凸区间和拐点。
这些例子覆盖了数学实验课程中的基础理论和计算技巧，包括基本的积分运算、极限、微分方程的求解、函数的性质分析等，对于理解这些概念和掌握相关计算方法具有重要参考价值。这份作业提供了很好的复习模板，适合学生们用来检验自己的理解和技能掌握程度。
