### 概率论和数理统计第四版答案解析
#### 第一章：概率论的基本概念
##### 1. 随机试验的样本空间
**（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分）**
样本空间表示为所有可能的小班平均分数的集合。由于班级人数未知，但一般情况下班级人数不会超过一定的范围（例如100人），因此样本空间可以定义为所有可能的平均分数集合。假设班级人数最多为100人，则样本空间可表示为：
\[ S = \left\{ \frac{k}{n} | k = 1, 2, ..., 100n; n = 1, 2, ..., 100 \right\} \]
这里，\(k\) 表示总分数，\(n\) 表示班级人数。
**（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数**
样本空间表示为生产产品直到获得10件正品所需的最少数量开始的所有可能的数量集合。理论上，这个过程可以无限进行下去，但是考虑到实际情况，样本空间可以表示为：
\[ S = \{10, 11, 12, ...\} \]
**（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”。**
样本空间表示所有可能的检查结果。根据题目描述，样本空间为：
\[ S = \{00, 100, 0100, 0101, 1010, 0110, 1100, 0111, 1011, 1101, 1110, 1111\} \]
其中，“1”代表合格品，“0”代表次品。
##### 2. 事件的表示
**（1）A发生，B与C不发生**
事件表示为 \(A\) 发生且 \(B\) 和 \(C\) 均不发生。这可以通过几种方式表示：
- \(A - (B \cup C)\)
- \(A - (AB + AC)\)
**（2）A，B都发生，而C不发生**
事件表示为 \(A\) 和 \(B\) 都发生，但 \(C\) 不发生。可以表示为：
- \(AB - C\)
- \(AB - ABC\)
**（3）A，B，C中至少有一个发生**
事件表示为 \(A\)、\(B\) 或 \(C\) 中至少有一个发生。可以表示为：
- \(A + B + C\)
**（4）A，B，C都发生**
事件表示为 \(A\)、\(B\) 和 \(C\) 都发生。可以表示为：
- \(ABC\)
**（5）A，B，C都不发生**
事件表示为 \(A\)、\(B\) 和 \(C\) 都不发生。可以表示为：
- \(\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}\)
- \(S - (A + B + C)\)
- \(\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}\)
**（6）A，B，C中不多于一个发生**
事件表示为 \(A\)、\(B\) 和 \(C\) 中最多只有一个发生。可以表示为：
- \(\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C} + A \cap \overline{B} \cap \overline{C} + \overline{A} \cap B \cap \overline{C} + \overline{A} \cap \overline{B} \cap C\)
**（7）A，B，C中不多于二个发生**
事件表示为 \(A\)、\(B\) 和 \(C\) 中最多只有两个发生。可以表示为：
- \(S - ABC\)
- \(\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C} + A \cap \overline{B} \cap \overline{C} + \overline{A} \cap B \cap \overline{C} + \overline{A} \cap \overline{B} \cap C + A \cap B \cap \overline{C} + A \cap \overline{B} \cap C + \overline{A} \cap B \cap C\)
**（8）A，B，C中至少有二个发生**
事件表示为 \(A\)、\(B\) 和 \(C\) 中至少有两个发生。可以表示为：
- \(AB + BC + AC\)
#### 6. 事件的概率
**（1）在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？**
已知 \(P(A) = 0.6\)，\(P(B) = 0.7\)。
- 当 \(A \subset B\) 时，即 \(A\) 发生时 \(B\) 也必然发生，此时 \(P(AB)\) 取到最大值，最大值为 \(P(A) = 0.6\)。
**（2）在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？**
- 根据加法公式 \(P(AB) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)\)，当 \(A \cup B = S\) 时，即 \(A\) 和 \(B\) 的并集覆盖整个样本空间，此时 \(P(AB)\) 取到最小值，最小值为 \(0.6 + 0.7 - 1 = 0.3\)。
#### 7. 三个事件的概率问题
**设A，B，C是三事件，且\(P(A) = 0.5, P(B) = 0.4, P(C) = 0.3, P(AB) = 0.1, P(AC) = 0.04, P(BC) = 0, P(ABC) = 0\)。求A，B，C至少有一个发生的概率。**
根据全概率公式：
\[ P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC) \]
将已知数值代入公式计算得出：
\[ P(A + B + C) = 0.5 + 0.4 + 0.3 - 0.1 - 0.04 - 0 + 0 = 1.06 \]
注意到这里的计算结果超出了概率的有效范围 [0, 1]，这意味着题目中的条件可能存在逻辑上的矛盾或者数据错误。
#### 8. 英语单词的概率问题
在一标准英语字典中具有55个由两个不相同的字母组成的新单词。若从26个英语字母中任取两个字母予以排列，问能排成上述单词的概率是多少？
**解答：**
记A表示“能排成上述单词”。
- 从26个字母中任选两个来排列，排法共有 \(A_{26}^2\) 种。每种排法等可能性。
- 字典中的两个不同字母组成的单词共有55个。
因此，所求概率为：
\[ P(A) = \frac{55}{A_{26}^2} = \frac{55}{26 \times 25} = \frac{11}{130} \]
#### 9. 电话号码的问题
在电话号码簿中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。
**解答：**
记A表示“后四个数字全不同”。
- 后四个数字的排法共有 \(10^4\) 种，每种排法等可能性。
- 后四个数字全不同的排法共有 \(A_{10}^4\) 种。
因此，所求概率为：
\[ P(A) = \frac{A_{10}^4}{10^4} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{10000} = 0.504 \]
#### 10. 纪念章号码问题
在房间里有10人，分别佩戴着从1号到10号的纪念章。任意选3人记录其纪念章的号码。
**（1）求最小的号码为5的概率。**
**解答：**
记A表示“三人纪念章的最小号码为5”。
- 10人中任选3人的组合方法共有 \(C_{10}^3\) 种。
- 最小号码为5的情况，相当于先选定1个人佩戴5号纪念章，再从剩下的5号以上号码的人中选择2人，组合方法共有 \(C_5^2\) 种。
因此，所求概率为：
\[ P(A) = \frac{C_5^2}{C_{10}^3} = \frac{\frac{5 \times 4}{2 \times 1}}{\frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1}} = \frac{10}{120} = \frac{1}{12} \]
**（2）求最大的号码为5的概率。**
**解答：**
记B表示“三人中最大的号码为5”。
- 10人中任选3人的组合方法共有 \(C_{10}^3\) 种。
- 最大号码为5的情况，相当于先选定1个人佩戴5号纪念章，再从剩下的1到4号号码的人中选择2人，组合方法共有 \(C_4^2\) 种。
因此，所求概率为：
\[ P(B) = \frac{C_4^2}{C_{10}^3} = \frac{\frac{4 \times 3}{2 \times 1}}{\frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1}} = \frac{6}{120} = \frac{1}{20} \]
