矩阵论课堂PPT及课后习题

Author: mathor

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线性空间

线性空间的定义

线性空间是定义在数域 上满足某些运算规律的向量集合，而数域本身也是一种特殊的集合。所以我们

先讲数域，再讲线性空间

什么是数域？数域是一种数集，元素的和、差、积、商仍在数集中（具有封闭性），称为数域。如有理

数域 ，复数域 ，实数域

2. 结合律

3. 零元素 在 中有一元素0（称作零元素，注：该0为向量），对于 中任一元素 都有

4. 负元素 对于 中每一个元素 ，都有 中的元素 ，使得 ，其中，0代表的是零元素，但

不一定永远都是0这个数，视具体题目而定

5. ，其中 是数，不是向量

6.

7.

8.

注：

简单点说，上述8条，只要有任意一条不满足，则 就不是数域 上的线性空间（线性空间中的元素叫向

表示所有正实数集合，在 中定义加法 与数量乘法 分别为

判断 是否构成实数域 上的线性空间

解：通过证明交换律，结合律，零元素，负元素，数乘结合律，两个分配律。因此 是实数域 上的线

性空间

交换律：

结合律：

零元素：这个比较复杂，我详细推导一下。原始定义中 ，因此0就是零元素。但是对于

这道题，我们需要找到一个数 ，使得 ，显然， 。因此， 存在零元素，

零元素是1

负元素：其实和零元素同理，原始定义中 ，因此 就是 的负元素。对于这道题，我们需

例3

设 是由系数在实数域 上，次数为 的 次多项式 构成的集合，其加法运算与数乘运算按照通常规

定，举例说明 不是 上的线性空间

解： 是由次数为 的 次多项式 构成的集合，显然加法不封闭。例如 ，则 ，0

的次数不再是 ，次数下降，不再属于 了。同理，数乘也不封闭。例如 ，则 ，次数同样

下降，不属于 。因此 不是 上的线性空间

线性空间的性质

1. 加法零元(单位元)唯一

2. 加法负元唯一

证：设 是两个零元，则

以下内容来源哈工大严质彬老师课上讲解

数乘中的数，最好放在向量的右边

数字2，可以看作是1×1的矩阵，而列向量是3×1的。将数放向量的右边，就满足了矩阵乘法的要求（第

一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数）

极大线性无关组

两个向量组之间的线性表示关系

设 是 上的线性空间， 和 是 中的两个向量组，

1. 如果存在 个数 ，使得 ，称向量 可由向量

组 线性表示

得 。由于 得证

扁（列>行）的齐次线性方程组必有非零解

设

这里， ，也就是方程的个数少于未知数的个数（不定方程），系数矩阵呈扁形

证明：对 用数学归纳法

1. 时， 。根据 是否为0分两种情况