根据题目要求，我们将从给定的信息中提取并生成相关的矩阵论知识点。
### 知识点一：线性空间的定义及验证
**定义**：一个集合如果对于集合内的两个元素的加法运算以及数乘运算封闭，则称这个集合为线性空间。
1. **集合**(1)中的线性空间验证：
- 集合\(V_1 = \left\{ A = (a_{ij})_{n\times n} \middle| a_{ij} = 0, i > j; \forall i, j \in \{1, 2, \dots, n\} \right\}\)。
- 这个集合包含了所有上三角矩阵，并且对于矩阵加法和数乘运算封闭，因此是一个线性空间。
2. **集合**(2)中的线性空间验证：
- \(V_2 = \left\{ A \in \mathbb{R}^{n\times n} \middle| A^T = -A \right\}\)。
- 这个集合包含了所有反对称矩阵，并且对于矩阵加法和数乘运算封闭，因此也是一个线性空间。
3. **集合**(3)中的线性空间验证：
- \(V_3 = \mathbb{R}^3\)，对于\(\mathbb{R}^3\)中的向量加法和如下定义的数乘向量：对于所有的\(k \in \mathbb{R}\)，定义数乘为\(k\alpha = 0\)。
- 由于对于任何非零的实数\(k\)和向量\(\alpha\)，有\(1\alpha = \alpha\)，但是在这个定义下\(1\alpha = 0\)，不满足线性空间的基本性质，因此不是线性空间。
4. **集合**(4)中的线性空间验证：
- \(V_4 = \left\{ f(x) \middle| f(x) \geq 0 \right\}\)。
- 对于函数加法和数乘运算，如果\(k < 0\)，则\(kf(x) \leq 0\)，不满足封闭性条件，因此不是线性空间。
### 知识点二：线性空间的维数与基
**例题**：求线性空间\(V = \left\{ A \in \mathbb{R}^{n\times n} \middle| A^T = A \right\}\)的维数和一组基。
- 维数：一组基可以是所有主对角线上元素为1而其余位置为0的矩阵，以及所有仅有一个非主对角线元素为1而其余位置为0的矩阵。共有\(n\)个主对角线元素和\(\frac{n(n-1)}{2}\)个非主对角线元素，因此维数为\(n + \frac{n(n-1)}{2} = \frac{n(n+1)}{2}\)。
- 基：一组基由以下矩阵组成：
\[
\begin{align*}
E_{11} &= \left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0
\end{array}\right], \\
E_{22} &= \left[\begin{array}{cccc}
0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0
\end{array}\right], \\
&\cdots \\
E_{nn} &= \left[\begin{array}{cccc}
0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1
\end{array}\right], \\
E_{12} &= \left[\begin{array}{cccc}
0 & 1 & \cdots & 0 \\
1 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0
\end{array}\right], \\
&\cdots \\
E_{(n-1)n} &= \left[\begin{array}{cccc}
0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1
\end{array}\right].
\end{align*}
\]
### 知识点三：子空间的等价性
**例题**：如果\(U_1\)和\(U_2\)都是线性空间\(V\)的子空间，且\(\dim U_1 = \dim U_2\)，并且\(U_1 \subseteq U_2\)，证明：\(U_1 = U_2\)。
**证明**：
- 设\(\{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_r\}\)是空间\(U_1\)的一组基，\(\{\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_r\}\)是空间\(U_2\)的一组基。
- 任取\(u \in U_2\)，由于\(\dim U_1 = \dim U_2\)，存在唯一的系数\(c_i\)使得\(u = c_1\beta_1 + c_2\beta_2 + \cdots + c_r\beta_r\)。
- 由于\(U_1 \subseteq U_2\)，对于\(\alpha_i\)也存在系数\(b_i\)使得\(\alpha_i = b_1\beta_1 + b_2\beta_2 + \cdots + b_r\beta_r\)。
- 从而可以构建过渡矩阵\(C = [b_1, b_2, \dots, b_r]\)，并且该矩阵可逆。
- 对于\(u \in U_2\)，有\(u = C^{-1}v\)，其中\(v = c_1\alpha_1 + c_2\alpha_2 + \cdots + c_r\alpha_r\)，从而\(u \in U_1\)。
- 因此，\(U_2 \subseteq U_1\)，结合已知条件\(U_1 \subseteq U_2\)，得到\(U_1 = U_2\)。
### 知识点四：向量是否属于列空间
**例题**：设\(A = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \end{array}\right]\)，判断向量\(\alpha = (2, 3, 4)^T\)是否在\(R(A)\)中。
**解法**：
- 构造增广矩阵\([A|\alpha] = \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 3 \\ 1 & 3 & 5 & 4 \end{array}\right]\)。
- 对矩阵进行行变换，得到简化阶梯形矩阵\(\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]\)。
- 由于矩阵\(A\)与其增广矩阵的秩相同，因此\(\alpha\)可以由矩阵\(A\)的列向量线性表示，即\(\alpha\)在\(R(A)\)中。
### 知识点五：多项式的线性相关性
**例题**：讨论多项式\(P_1(x) = x^3 + x^2 + x + 1\)，\(P_2(x) = x^3 - 2x^2 + x\)，\(P_3(x) = x^3 + 4x^2 + 5x + 2\)在\(P_4[x]\)中的线性相关性。
**解法**：
- 将多项式写成矩阵形式：\(\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 4 & 5 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right]\)。
- 对矩阵进行行变换，得到简化阶梯形矩阵\(\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right]\)。
- 由于秩为2，小于多项式的个数3，因此多项式组\(\{P_1(x), P_2(x), P_3(x)\}\)线性相关。
### 知识点六：秩-零化度定理
**例题**：设\(A \in \mathbb{R}^{m \times n}\)，证明\(\dim R(A) + \dim N(A) = n\)。
**证明**：
- \(R(A)\)表示矩阵\(A\)的列空间，\(\dim R(A)\)表示列空间的维数。
- \(N(A)\)表示矩阵\(A\)的零空间，\(\dim N(A)\)表示零空间的维数。
- 设\(\dim R(A) = r\)，则矩阵\(A\)的秩为\(r\)。
- 根据秩-零化度定理，矩阵\(A\)的秩加上零空间的维数等于矩阵的列数，即\(\dim R(A) + \dim N(A) = n\)。
GreateAUK2021-11-28这答案也不全啊，无语了！
