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多元非线性回归代码

matlab多元非线性回归教程.doc 333KB

matlab 回归（拟合）总结

前言

1、学三条命令

polyfit(x,y,n)---拟合成一元幂函数（一元多次）

regress(y,x)----可以多元，

nlinfit(x,y,’fun’,beta0) (可用于任何类型的函数，任意多元函数，应用范围最主，最万

能的)

2、同一个问题，这三条命令都可以使用，但结果肯定是不同的，因为拟合的近似结果，

没有唯一的标准的答案。相当于咨询多个专家。

3、回归的操作步骤：

根据图形（实际点），选配一条恰当的函数形式（类型）---需要数学理论与基础和经验。

（并写出该函数表达式的一般形式，含待定系数）------选用某条回归命令求出所有的待定系

数。所以可以说，回归就是求待定系数的过程（需确定函数的形式）

一、回归命令

一元多次拟合 polyfit(x,y,n);一元回归 polyfit;多元回归 regress---nlinfit(非线性)

二、多元回归分析

对于多元线性回归模型(其实可以是非线性，它通用性极高)：

exxy

��

�

110

设变量

1 2

, , ,

x x x yL

的 n 组观测值为

1 2

( , , , ) 1, 2, ,

i i ip i

x x x y i n=L L

记

�

npnn

xxx

�

��

�

22221

11211

，

�

，则

�

的估计值为排列方式

与线性代数中的线性方程组相同（），拟合成多元函数---regress

使用格式：左边用 b=[b, bint, r, rint, stats]右边用=regress(y, x)或 regress(y, x, alpha)

---命令中是先 y 后 x,

---须构造好矩阵 x(x 中的每列与目标函数的一项对应)

---并且 x 要在最前面额外添加全 1 列/对应于常数项

---y 必须是列向量

---结果是从常数项开始---与 polyfit 的不同。）

其中： b 为回归系数，

�

的估计值(第一个为常数项)，bint 为回归系数的区间估计，r:

残差，rint: 残差的置信区间，stats: 用于检验回归模型的统计量，有四个数值：相关系数

r2、F 值、与 F 对应的概率 p 和残差的方差（前两个越大越好，后两个越小越好），alpha:

显著性水平（缺省时为 0.05，即置信水平为 95%），（alpha 不影响 b,只影响 bint(区间估计)。

它越小，即置信度越高，则 bint 范围越大。显著水平越高，则区间就越小）（返回五个结果）

---如有 n 个自变量-有误（n 个待定系数），则 b 中就有 n+1 个系数（含常数项，---第一项为

常数项）(b---b 的范围/置信区间---残差 r---r 的置信区间 rint-----点估计----区间估计

此段上课时不要：---- 如果

的置信区间（bint 的第

1i +

行）不包含 0，则在显著水

平为

时拒绝

的假设，认为变量

是显著的．*******(而 rint 残差的区间应包含 0

则更好)。b,y 等均为列向量,x 为矩阵(表示了一组实际的数据)必须在 x 第一列添加一个全 1

列。----对应于常数项-------而 nlinfit 不能额外添加全 1 列。结果的系数就是与此矩阵相对应

的（常数项，x1,x2,……xn）。（结果与参数个数：1/5=2/3-----y,x 顺序---x 要额外添加全 1 列）

而 nlinfit:1/3=4------x,y 顺序---x 不能额外添加全 1 列，---需编程序，用于模仿需拟合的

函数的任意形式，一定两个参数，一为系数数组，二为自变量矩阵（每列为一个自变量）

有 n 个变量---不准确，x 中就有 n 列,再添加一个全 1 列（相当于常数项），就变为 n+1

列，则结果中就有 n+1 个系数。

x 需要经过加工，如添加全 1 列，可能还要添加其他需要的变换数据。

相关系数 r2 越接近 1，说明回归方程越显著；(r2 越大越接近 1 越好)F 越大，说明回归

方程越显著；（F 越大越好）与 F 对应的概率 p 越小越好，一定要 P<a 时拒绝 H0 而接受

H1，即回归模型成立。乘余（残差）标准差（RMSE）越小越好(此处是残差的方差，还没

有开方)（前两个越大越好，后两个越小越好）

regress 多元（可通过变形而适用于任意函数），15/23 顺序（y,x---结果是先常数项，与

polyfit 相反）y 为列向量；x 为矩阵，第一列为全 1 列（即对应于常数项），其余每一列对应

于一个变量（或一个含变量的项），即 x 要配成目标函数的形式（常数项在最前）x 中有多

少列则结果的函数中就有多少项

首先要确定要拟合的函数形式，然后确定待定的系，从常数项开始排列，须构造 x(每列

对应于函数中的一项，剔除待定系数)，拟合就是确定待定系数的过程（当然需先确定函数

的型式）

重点：

regress(y,x) 重点与难点是如何加工处理矩阵 x。

y 是函数值，一定是只有一列。

也即目标函数的形式是由矩阵 X 来确定

如 s=a+b*x1+c*x2+d*x3+e*x1^2+f*x2*x3+g*x1^2,

一定有一个常数项，且必须放在最前面（即 x 的第一列为全 1 列）

X 中的每一列对应于目标函数中的一项（目标函数有多少项则 x 中就有多少列）

X=[ones, x1, x2, x3, x1.^2, x2.*x3，x1.ˆ2] (剔除待定系数的形式)

regress: y/x 顺序，矩阵 X 需要加工处理

nlinfit: x/y 顺序，X/Y 就是原始的数据，不要做任何的加工。

(即 regress 靠矩阵 X 来确定目标函数的类型形式（所以 X 很复杂，要作很多处理）而

nlinfit 是靠程序来确定目标函数的类型形式（所以 X 就是原始数据，不要做任何处理）

例 1

测 16 名成年女子的身高与腿长所得数据如下：

身高

143

145

146

147

149

150

153

154

155

156

157

158

159

160

162

164

腿长

100

102

配成 y=a+b*x 形式

>> x=[143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164]';

>> y=[88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102]';

140 145 150 155 160 165

100

102

>> plot(x,y,'r+')

>> z=x;

>> x=[ones(16,1),x];----常数项

>> [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x);---处结果与 polyfit(x,y,1)相同

>>b,bint,stats

得结果：b = bint =

-16.0730 -33.7071 1.5612------每一行为一个区间

0.7194 0.6047 0.8340

stats = 0.9282 180.9531 0.0000

即

7194.0

,073.16

��

；

�

的置信区间为 [-33.7017 ， 1.5612],

�

的置信区间为

[0.6047,0.834]; r

=0.9282, F=180.9531, p=0.0。p<0.05, 可知回归模型 y=-16.073+0.7194x 成立.

>> [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,0.05);-----结果相同

>> [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,0.03);

>> polyfit(x,y,1)-----当为一元时（也只有一组数），则结果与 regress 是相同的，只是

命令中 x,y 要交换顺序，结果的系数排列顺序完全相反，x 中不需要全 1 列。

ans =0.7194 -16.0730--此题也可用 polyfit 求解，杀鸡用牛刀，脖子被切断。

3、残差分析，作残差图：

>>rcoplot(r,rint)

从残差图可以看出，除第二个数据外，其余数据的残差离零点均较近，且残差的置信

区间均包含零点，这说明回归模型 y=-16.073+0.7194x 能较好的符合原始数据，而第二个数

据可视为异常点(而剔除)

2 4 6 8 10 12 14 16

-5

-4

-3

-2

-1

Residual Case Order P lot

Residuals

Case Number

4、预测及作图：

>> plot(x,y,'r+') >> hold on

>> a=140:165; >> b=b(1)+b(2)*a;

>> plot(a,b,'g')

例 2

观测物体降落的距离 s 与时间 t 的关系，得到数据如下表，求 s 关于 t 的回归方程

ctbtas ��

t (s)

1/30

2/30

3/30

4/30

5/30

6/30

7/30

s (cm)

11.86

15.67

20.60

26.69

33.71

41.93

51.13

t (s)

8/30

9/30

10/30

11/30

12/30

13/30

14/30

s (cm)

61.49

72.90

85.44

99.08

113.77

129.54

146.48

法一：直接作二次多项式回归

t=1/30:1/30:14/30;

s=[11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54

146.48];

>> [p,S]=polyfit(t,s,2)

p =489.2946 65.8896 9.1329

得回归模型为：

1329.98896.652946.489

�� tts

140 145 150 155 160 165

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