自动控制理论基础教程第三章答案

### 自动控制理论基础教程第三章答案解析 #### 3-1 随动系统稳态误差分析 题目描述了一个随动系统，并给出了其微分方程：\[T\ddot{x} + x = K_2u\]，其中\[u = K_1[r(t) - x_f]\]，并且\[T_f\dot{x}_f + x_f = x_0\]。题目要求在外作用\(r(t) = 1 + t\)的情况下，为了使得系统对于外作用\(r(t)\)的稳态误差不超过正常数\(\varepsilon_0\)，求\(K_1\)应满足的条件。 **解析：** 我们需要将给定的微分方程转化为传递函数形式，以便进行进一步的分析。系统的传递函数可以通过拉普拉斯变换获得，即\[G(s) = \frac{X(s)}{U(s)}\]。对于给定的微分方程，可以写出：\[X(s) = \frac{K_2}{Ts^2 + 1}U(s)\]。 接下来，考虑外作用\(r(t)\)，将其转换为拉普拉斯域的形式，得到\[R(s) = \frac{1}{s} + \frac{1}{s^2}\]。因此，系统的输出可以通过传递函数与输入的关系得到，即\[X(s) = G(s)[R(s) - X_f(s)]\]。进一步地，可以推导出系统的稳态误差表达式\[E(s) = R(s) - X(s)\]。 为了保证稳态误差不大于\(\varepsilon_0\)，即\[|E(0)| \leq \varepsilon_0\]，我们需要找到一个合适的\(K_1\)值。根据给定的控制律\[u = K_1[r(t) - x_f]\]，可以得出\[X_f(s) = \frac{1}{T_fs + 1}X_0(s)\]。将\(X_f(s)\)代入到传递函数中，通过求解稳态误差条件，可以找到\(K_1\)的限制条件。 #### 3-2 微分方程系统的单位脉冲响应与单位阶跃响应 题目给出了两个不同的微分方程系统，要求求出这两个系统的单位脉冲响应\(k(t)\)和单位阶跃响应\(h(t)\)。 **解析：** 对于第一个系统，微分方程为\[0.2\dot{c}(t) = 2r(t)\]，其拉普拉斯变换形式为\[0.2sC(s) = 2R(s)\]，从而可以得到系统的传递函数\[G(s) = \frac{C(s)}{R(s)} = \frac{2}{0.2s} = \frac{10}{s}\]。由此，单位脉冲响应为\[k(t) = 10\delta(t)\]，单位阶跃响应为\[h(t) = 10t\]。 对于第二个系统，微分方程为\[0.04\ddot{c}(t) + 0.24\dot{c}(t) + c(t) = r(t)\]，其拉普拉斯变换形式为\[(0.04s^2 + 0.24s + 1)C(s) = R(s)\]，即\[G(s) = \frac{1}{0.04s^2 + 0.24s + 1}\]。为了求单位脉冲响应和单位阶跃响应，需要对传递函数进行部分分式展开，并利用反拉普拉斯变换。 #### 3-3 系统闭环传递函数 题目给出了三个不同的系统脉冲响应，要求求出这三个系统的闭环传递函数\(\Phi(s)\)。 **解析：** 对于第一个系统的脉冲响应\[k(t) = 0.0125e^{-1.25t}\]，其拉普拉斯变换为\[\Phi(s) = \frac{0.0125}{s + 1.25}\]。 对于第二个系统的脉冲响应\[k(t) = 5t + 10\sin(4t + 45^\circ)\]，可以分解为两个部分，然后分别求拉普拉斯变换，最终得到\(\Phi(s)\)为\[\Phi(s) = \frac{s + 5}{s^2 + 5s + 16}\]。 对于第三个系统的脉冲响应\[k(t) = 0.1(1 - e^{-t/3})\]，可以直接进行拉普拉斯变换，得到\(\Phi(s)\)为\[\Phi(s) = \frac{0.1 - 0.1}{s + 1/3}\]。 以上是对给定题目中的知识点的详细解析，希望对你有所帮助。