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西南科技大学 2013《高等数学 B[2]》期末试卷（A 卷）
一，填空题（共 5 题，每小题 3 分，共 15 分）
1、函数
22
ln( )u x y z
在点
(1,0,1)A
沿
A
指向点
(3, 2,2)B
的方向导数
是
_______。
解：
2 2 2
2 2 1
| 2 2 1 | 3 cos ,cos ,cos
3 3 3
AB
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
11
| | , | | 0
2
()
1
||
2
()
A A A A
AA
u u y
xy
x y z x y z y z
uz
z
x y z y z
1 2 2 1 1 1
| ( cos cos cos ) 0 ( )
2 3 3 2 3 2
AA
u u u
gradu
x y z
。
2、曲面方程
22
6y z x yz
点
(1,2,3)
处的法线方程为
________。
解：令
22
(1,2,3) (1,2,3)
( , , ) 6 | 2 | 12
x
F x y z y z x yz F xyz
2 2 2
(1,2,3) (1,2,3) (1,2,3) (1,2,3)
| (2 )| 9, | ( )| 2
yz
F yz x z F y x y
故所求法线方程为
1 2 3
12 9 2
x y z
。
3 、设
2
ln
x
z
y
，则
(1,2)
| ______________dz 。
解：
2
2 2 1 1
22
z z y y x
dz dx dy dx dy dx dy
x y x y x y x y
(1,2)
1
|
2
dzdx- dy。
4、设曲面
为柱面
22
9xy
介于平面
0z
及
3z
之间的部分,则
22
( 1)x y dS
。
解：
22
( 1) (9 1) 10 ( )x y dS dS S
=10 6 3=180 。
5、
2
lim 0
n
n
nu
且
0
n
u
，则级数
1
n
n
u
的敛散性为
______
。
解：
2
2
lim lim 0
1
n
n
nn
u
nu
n
，而级数
2
1
1
n
n
收敛，
