【知识点详解】
1. **双曲线的定义**：双曲线是平面内到两个定点（焦点）的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于两焦点间距离的两倍）的点的轨迹。
2. **双曲线的标准方程**：双曲线的标准方程分为两种形式，一种是中心在原点，焦点在x轴或y轴上的标准方程，分别为：
- 当焦点在x轴上时：`- = 1`，其中`a`是实轴半径，`b`是虚轴半径。
- 当焦点在y轴上时：`- = 1`，其中`a`是虚轴半径，`b`是实轴半径。
3. **双曲线方程的求解方法**：利用待定系数法，首先确定方程的形式，然后根据题目条件求解参数。如果已知渐近线方程，可以假设双曲线方程与渐近线有相同的形状，即`- = λ`，然后求解λ。
4. **双曲线的几何性质**：
- 渐近线：双曲线的渐近线是`y = ±x/a`或`x = ±y/b`，取决于双曲线的焦点位置。
- 焦点三角形：在双曲线中，焦点三角形的边长关系可以利用正弦定理、余弦定理以及双曲线的定义`|PF1| - |PF2| = 2a`来建立。
5. **双曲线的焦距与实轴、虚轴的关系**：焦距`2c`满足`c^2 = a^2 + b^2`。
6. **双曲线的性质在高考中的应用**：
- 高考试题通常会涉及求解双曲线的方程，判断轨迹是否为双曲线，以及利用双曲线的几何性质求解三角形的面积、距离等问题。
- 例如，题型包括根据渐近线和实轴长求双曲线方程，根据双曲线定义求解点到焦点的距离关系，以及利用椭圆和双曲线的共同焦点计算焦点三角形的面积等。
7. **双曲线的渐近线与方程的关联**：如果已知双曲线的渐近线，可以通过设立公共渐近线的双曲线方程来求解，如`- = λ`，然后通过题目的具体条件求解λ的值。
8. **双曲线与椭圆的联系**：双曲线和椭圆都有相同的焦点，它们的焦距、离心率等几何性质可以帮助解决涉及两者的问题。例如，椭圆和双曲线的公共点的性质，可以用来求解焦半径乘积或者焦点三角形的面积。
9. **距离和最值问题**：在双曲线中，涉及到距离的最值问题，往往需要利用双曲线的定义、三角不等式以及几何性质，如最小距离可能出现在点P位于某特定位置时，例如在某条渐近线上或在某焦点与渐近线的垂直平分线上。
10. **三角形面积的计算**：对于焦点三角形，面积可以通过直角三角形的面积公式、双曲线的焦距以及点到直线的距离来求解。
通过以上知识点，我们可以看到双曲线在高中数学中的重要性，它不仅涉及到基本的定义和性质，还与几何图形的分析、距离最优化问题以及代数方程的求解紧密相关。在高考复习中，理解和掌握这些知识点是至关重要的。
