3.1~4 概率密度函数的估计（参数估计）.pdf

在模式识别领域中，概率密度函数的估计是核心问题之一。概率密度函数(PDF)描述了随机变量取某个值的概率，它在贝叶斯分类器中用于计算类条件概率密度，从而根据给定的特征向量对样本进行分类。对于给定的训练样本集合D1, D2, …, Dc，我们需要估计每个类别的概率密度函数和先验概率。估计这些参数的方法分为参数估计和非参数估计两大类。 参数估计方法假设我们已知概率密度函数的某种形式，但其参数未知。根据样本是否含有类别信息，参数估计又可以分为监督参数估计和非监督参数估计。在监督参数估计中，我们不仅知道样本所属类别，也知道样本的概率密度函数形式，但不知道其具体参数值。例如，我们可能知道数据符合正态分布，但分布的具体均值和方差是未知的。非监督参数估计则假设我们了解总体的概率密度函数形式，但不知道样本的具体类别。在这样的情况下，我们的目标是通过估计来找出概率密度函数的某些参数。 在参数估计方法中，我们常用的两种方法是最大似然估计和贝叶斯估计。最大似然估计是一种点估计方法，它将参数视为确定而未知的值，通过寻找使得已观测样本出现概率最大的参数值来进行估计。贝叶斯估计则将未知参数看作具有某种分布的随机变量，并利用样本观察结果更新参数的先验分布，得到参数的后验分布。贝叶斯估计是一种更为复杂的估计方法，它考虑到了参数的不确定性，并结合先验知识进行参数估计。 非参数估计方法则不需要我们对总体概率密度函数的形式有预先设定，而是直接推断概率密度函数本身。常见的非参数估计方法有Parzen窗法和k近邻法。这两种方法都是基于样本数据直接构造概率密度函数的估计。 在参数估计中，我们用到的概念包括统计量、参数空间、点估计、估计量和估计值。统计量是指样本集中的某种函数，它能代表样本集中的信息。参数空间是所有可能的未知参数的取值集合。点估计问题就是要构造一个统计量来估计未知参数。估计量是我们构造的用于估计未知参数的统计量，而估计值是将具体样本数据代入统计量后得到的数值。 区间估计则是一种给出参数可能取值范围的估计方法，它给出一个区间作为对未知参数的估计，这个区间被称为置信区间。我们通常不是依据单一抽样结果来评价估计的好坏，而是从估计量的平均值（偏差）和方差的角度进行分析。 本章内容的深度涵盖了概率密度函数的估计方法、参数估计和非参数估计的区别、最大似然估计法、贝叶斯估计法以及如何根据不同的问题选择合适的估计方法。这些知识点在人工智能和模式识别领域具有重要的理论和实际应用价值。对于学习模式识别、机器学习和统计学的学生和研究者来说，深入理解和掌握这些内容是十分必要的。