奥赛经典
数学奥林匹克中的
应试技巧
李博杰 著
数之理论坛
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数学奥林匹克中的应试技巧 2
引言
在数学竞赛中，经常有题目难以解出的情况。此时，轻言放弃，意味着考试
的失分，一道 50 分的二试解答题很可能决定奖项的取得；继续做，又毫无头绪，
有可能耽误更多的时间。此时，“抢分”便成为了我们唯一的出路。
所谓“抢分”，就是在一时没有好的思路的情况下，尽可能获得思路；即使
没有思路，也能尽可能得到部分分数。
在数学学科竞赛中，分数是最重要的。时常见到，有些同学能力很高，经常
解出难题，但每逢考试，得分却不理想，这不能不说是一种遗憾。而另一些同学
平时不见起色，考试却每每高分，令人费解。对此种矛盾，本文将略谈一二。
本书拟从数学竞赛“抢分”的实用策略谈起，以提高数学竞赛中获得高分的
能力。由于水平有限，难免有错误疏漏之处，敬请读者指教。
我们希望更多的选手参加竞赛是真正出于对数学的兴趣，而不是功利的目
的。这样，我们的竞赛才回归它本身的意义。我衷心希望，各位读者能细细品味
数学竞赛中的美感，陶冶科学世界的情操。
李博杰 2009 年 1 月
3 数学奥林匹克中的应试技巧
目录
引言................................................................................................................................................... 2
第一章 表达规范——抢分的基础 ............................................................................................... 5
第二章 观察变形——抢分的前期准备 ......................................................................................... 6
第三章 特殊值法——抢分的核心技巧 ....................................................................................... 9
3.1 什么是“特殊值法” ............................................................................................................ 9
3.2 特殊值法的理论依据 ........................................................................................................ 9
3.3 特殊值法在函数不等式中的应用 .................................................................................... 9
3.4 特殊值法在几何问题中的应用 ...................................................................................... 10
3.5 特殊值法在组合问题中的应用 ...................................................................................... 11
第四章 试探法——抢分的一般策略 ........................................................................................... 13
4.1 什么是“试探法” .......................................................................................................... 13
4.2 留心试探中的关系 .......................................................................................................... 13
4.3 试探法在数列问题中的应用 .......................................................................................... 13
4.4 试探法在函数方程中的应用 .......................................................................................... 14
4.5 试探法在组合问题中的应用 .......................................................................................... 15
4.6 试探法在数论问题中的应用 .......................................................................................... 15
4.7 试探法在平面几何中的应用 .......................................................................................... 16
第五章 高效抢分“秒杀”选择题 ............................................................................................... 19
第六章 高效抢分提高填空题正确率 ........................................................................................... 21
第七章 抓住解答题的每一分 ....................................................................................................... 23
7.1 减少低级错误 .................................................................................................................. 23
7.2 尽可能寻找思路 .............................................................................................................. 24
7.3 “踩”准采分点 ................................................................................................................... 25
第八章 高效抢分破解难题 ........................................................................................................... 27
8.1 调整法——不等式的终结者 .......................................................................................... 27
8.2 二进制——追溯数字的本源 .......................................................................................... 29
8.3 反证法——草船借箭的妙用 .......................................................................................... 31
8.4 算两次——换个角度看问题 .......................................................................................... 33
8.5 归纳法——三生万物的玄机 .......................................................................................... 36
第九章 瞒天过海——抢分的必杀绝技 ....................................................................................... 39
9.0 瞒天过海不露马脚 .......................................................................................................... 39
9.1 角度变换笑里藏刀 .......................................................................................................... 39
9.2 全等相似暗藏杀机 .......................................................................................................... 39
9.3 作图诡计增兵添将 .......................................................................................................... 40
9.4 不等变形卧虎藏龙 .......................................................................................................... 40
9.5 直觉推断兵不血刃 .......................................................................................................... 41
9.6 巧用方程一语攻心 .......................................................................................................... 41
9.7 文字描述避开逻辑 .......................................................................................................... 41
9.8 曲解定理狐假虎威 .......................................................................................................... 41
9.9 先猜结论令敌失色 .......................................................................................................... 42
9.10 铺天盖地绝地反击 ........................................................................................................ 42
第十章 实战演习——抢分的实际应用 ....................................................................................... 43
数学奥林匹克中的应试技巧 4
10.1 2007 全国高中联赛 ..................................................................................................... 43
10.2 2008 全国联赛 A 卷 .................................................................................................... 46
10.3 2008 全国联赛 B 卷 .................................................................................................... 54
10.4 2009 联赛原创模拟试题 ............................................................................................. 58
10.5 2009 全国高中联赛 ..................................................................................................... 67
10.6 2009 女子数学奥林匹克 ............................................................................................. 83
10.7 2009 中国数学奥林匹克 ............................................................................................. 88
10.9 2008 国际数学奥林匹克 ............................................................................................. 97
10.10 2009 国际数学奥林匹克 ......................................................................................... 100
第十一章 数学之美——数学的广延性 ..................................................................................... 103
11.1 美妙的自然对数 e ....................................................................................................... 103
11.2 奇特的黄金分割 .......................................................................................................... 105
11.3 物理中的数学 .............................................................................................................. 107
11.4 化学中的数学 .............................................................................................................. 108
11.5 生物中的数学 .............................................................................................................. 109
11.6 信息学中的数学 .......................................................................................................... 111
第十二章 不抢分——抢分的最高境界 ..................................................................................... 116
12.1 “抢分”的实质 ............................................................................................................... 116
12.2 调整心态，抢分的心理基础 ...................................................................................... 116
12.3 如何做到“不抢分” .................................................................................................... 117
附录............................................................................................................................................... 118
附录 1 全国高中联赛大纲 ................................................................................................ 118
附录 2 参考文献 ................................................................................................................ 119
附录 3 作者简介 ................................................................................................................ 120
版权声明............................................................................................................................... 120
感谢....................................................................................................................................... 120
5 数学奥林匹克中的应试技巧
第一章 表达规范——抢分的基础
表达规范，就是学习标准答案的解题模式。要使解答具有层次性，分条阐述。不要几
个式子加一个得数，这样很容易误判。表达规范，要求书写、卷面“排版”整齐。我们看到，
在标准答案中由于计算机排版，行距列距、字体整齐，利于观看，我们也很容易理解。
笔者初中有评阅数学试卷的历史，同样是一个解答过程，有的试卷愿意阅读，有的只
想尽快阅完放弃。在高中联赛的阅卷过程中，阅卷速度很快，若阅卷人一时无法理解或无法
找到而造成误判，造成的损失是无法弥补的，令人后悔莫及。
统观全局，认为影响解答美观性的因素有：
（1）字体。竞赛试卷书写不是书法比赛，不能行书草书一起上，要用楷体认真书写，尽
量做到笔画清楚，尤其是数字和符号清晰，不要有模棱两可的数字，不要连笔书写，这样才
方便阅卷。
（2）字号。数学专业书籍，如《中等数学》，一般都以五号字为宜，本文就是以五号字
排印的。我们书写竞赛试卷时，尽量模仿，避免过大导致卷面不够用，或过小导致看不清。
（3）分栏。数学试卷的页一般较宽，若通体一栏，既浪费空间，又会导致各行因表达式
长度不同而“错落有致”，不美观。可以假想在页的竖直中部有一条线，先写左栏再写右栏，
该换行时及时换行，一个等号占一行，这样显得规范。不到万不得已，不要使用箭头来回拐
弯。
（4）分式。对于较大的分式，若与普通字行距相同，必然导致分子分母的字母、数字过
小，难以看清。当遇到复杂的公式推导时，最好增加行距，保证分式的字与一般字体一样大。
（5）标记。尽量注明重要推导步骤和中间结论的号码，用（1）（ 2）（ 3）……表示，一
是方便在中间步骤给分，二是以后引用时注明号码来源，如“由（1）+（2）得……”，逻
辑清晰，阅卷者能迅速找到解题根据，避免误判。
（6）关联词。在解答过程中应用“只需证”“下面对……进行分类讨论”“下面用数学归
纳法证明”“由上式可得”“故”“不妨设”“综上”等关联词语，利于阅卷者迅速把握解题思
路。
（7）缩进。在分类讨论时，可用数字标号（1）（ 2）等，以提示阅卷者；标号后紧跟条
件“当……时”；类别内的各行讨论，最好从数字标号右侧开始，竖直方向各标号对齐，以
体现层次性和逻辑性。分类讨论结束时，最好有总结性的结论，并采用“中间结论标记法”，
以便以后引用。
（8）注明定理。有时阅卷人一时不知式子来源，容易误判。在运用重要定理时，注明在
式子的前后，“由柯西不等式得”“由梅涅劳斯定理得”，逻辑清楚。
（9）引理。在解决十分复杂的问题时，若能将中间的重要结论写成“引理”，完整的表
示出来，再对引理进行证明，会起到强调作用，增强解答的层次性。
（10）修改。当部分出现错误时，轻轻用线划掉再重写即可，不影响整体效果。不要在
式子中间进行修改，否则不清楚。在正式书写之前最好在脑中把思路理顺，按照正常逻辑顺
序书写，尽量避免大规模涂改。
（11）推导。在较长的式子推导中，最好只保留重要的、有技巧的变形步骤，其他等价
推导可在草稿纸上完成，以节省卷面空间。
（12）结论。题目解完后，要有总结性的结论，正面回答题目中的问题。
如此种种，不再赘述。表达规范需要长期积累，水滴石穿，最终受益匪浅。总之，表达
规范，好的书写习惯能令人赏心悦目，同时迅速把握解题思路，是竞赛得分的重要基础。
