灰色预测GM(1,1)模型
数学建模中的灰色预测模型是一种常用的预测方法，特别是在数据缺乏或难以获取的情况下。灰色预测模型的理论基础是灰色系统理论，该理论认为，系统的行为可以用一个灰色函数来描述。灰色预测模型可以将不确定的系统状态转化为确定的状态，从而实现预测的目的。
灰色预测模型的分类有很多种，常见的有GM(1,1)、GM(1,N)、Verhulst、等。今天，我们主要介绍灰色预测GM(1,1)模型。
GM(1,1)模型是一个最基本的灰色预测模型，它的核心思想是将原始数据累加生成一个新的序列，然后使用一阶微分方程来描述这个新序列。通过求解微分方程，我们可以得到预测的结果。
下面是一个简单的例子，某城市1986到1992年的道路噪声平均声级数据见下表：
| 序号 | 年份 | 噪声/dB(A) |
| --- | --- | --- |
| 1 | 1986 | 71.1 |
| 2 | 1987 | 72.4 |
| 3 | 1988 | 72.4 |
| 4 | 1989 | 71.1 |
| 5 | 1990 | 71.4 |
| 6 | 1991 | 72.0 |
| 7 | 1992 | 71.6 |
我们可以使用GM(1,1)模型来预测下一年的道路噪声平均声级数据。
我们需要将原始数据累加生成一个新的序列：
𝑥(1)(𝑘) = ∑𝑖=1𝑘 𝑥(0)(𝑖)
| 序号 | 年份 | 噪声/dB(A) | 累加序列 |
| --- | --- | --- | --- |
| 1 | 1986 | 71.1 | 71.1 |
| 2 | 1987 | 72.4 | 143.5 |
| 3 | 1988 | 72.4 | 215.9 |
| 4 | 1989 | 71.1 | 287.0 |
| 5 | 1990 | 71.4 | 358.4 |
| 6 | 1991 | 72.0 | 430.4 |
| 7 | 1992 | 71.6 | 502.0 |
然后，我们可以使用一阶微分方程来描述这个新序列：
𝑑𝑥(1)𝑑𝑡 + 𝑎𝑥(1) = 𝑢
为了求解这个微分方程，我们需要使用最小二乘法来估计参数a和u。通过最小二乘法，我们可以得到参数a和u的估计值：
ƶ𝑎 = -0.1159
ƶ𝑢 = 72.1351
然后，我们可以将参数a和u代入微分方程，求解微分方程：
ƶ𝑥 1 𝑘 + 1 = 𝑥 0 1 − ƶ𝑏ƶ𝑎 e− ƶ𝑎𝑘 + ƶ𝑏ƶ𝑎
我们可以使用这个公式来预测下一年的道路噪声平均声级数据。例如，取k=7，我们可以预测下一年的道路噪声平均声级数据为：
ƶ𝑥 0 8 = ƶ𝑥 1 8 − ƶ𝑥 1 7
我们需要进行模型检验，以验证模型的可靠性。模型检验的方法有很多种，常见的有残差分析、相关性分析等。
灰色预测GM(1,1)模型是一个简单而有效的预测方法，特别是在数据缺乏或难以获取的情况下。它可以将不确定的系统状态转化为确定的状态，从而实现预测的目的。但是，模型的可靠性需要通过模型检验来验证。
