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2.
基本容许解的改
进
(
1
)
Gauss-Jordan
方程组
假定
是(
2.21
)的一
个基。由
得等价方程组
记
则(
2.28
)可写成
(
2.28
)
(
2.29
)
第
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m
B
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a
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B
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Bx
Nx
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2
,
,
T
j
j
j
j
mj
B
a
a
a
a
a
j
n
(
2.29
)称为关
于基
的
Gauss-
Jordan
方程组
(
G-J
方程组
)。
典范线性规划的主
约束即是一个
G-J
方程组。
G-J
方
程组的性质:
ⅰ
)一个基决定唯一的
G-J
方程组;
ⅱ
)若
是容许基,则由其
G-J
方程组可得出关于
的基本容许解
ⅲ
)在
G-J
方程组中
,
基变量的系数向量构成单位
矩阵。
性质ⅰ)说明求新
的基本容许解的过
程实质上就是
不同基的
G-J
方程组间的转化过
程。这个转化过程
很容易
实现。
设
是新基,是用
非
基向量
替换
中的
得到的矩阵。
这时
G-J
方程组间的
转化过程就是要将
非基变量
的系数向量
变为单位
向量
(性质ⅲ)
.
要实现这个过程,则必须有
元素
第
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l
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a
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a
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a
B
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a
l
x
l
a
k
e
,
称为
主元
。转化过
程显示如下:
关于基
的
Gauss-Jor
dan
方程组
关于基
的
Gauss-Jordan
方程组
为保证解的
改进
,替换须满足
以下两个条件:
第
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kl
a
kl
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il
i
il
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kl
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a
a
b
a
a
a
第一,容许性条
件。即保证
的
G-J
方程
组的右端项
非负的条件。
第二,下
降性条件。即保证
的基本容许解
的目标函
的基本容许解的目
标函数值的条
件。
数值小于
i
)容许性条件
由
,即主元还必须为
正。
结论是:为保证
的
G-J
方程组的
右端项非负,
(
2.
36
)
主元
必须是满足
的正数。
如果主元不存
在,
则线性规划解
无界(定理
2.12
)。
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B
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b
a
a
a
例
2.6
考虑例
2
.5
中
的线性规划
关于
的
G-J
方
程组
试把
和
分别引入基,求新
的基本
容许解。
ⅱ
)下降性条件
新解
。
中只有
其余分量皆为
0
。于是,由(
2.26
)式得
(
2.37
)
由于
,所以只要
,则
特别当
时,只要
,必有
第
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