数值分析最小二乘法PPT课件.pptx

"数值分析最小二乘法PPT课件" 一、最小二乘法的定义 最小二乘法是一种常用的曲线拟合方法，其目标是寻找一个函数关系，使观测数据的误差平方和最小。根据不同的度量标准， 最小二乘法可以分为三种：使残差的最大绝对值为最小、使残差的绝对值之和为最小、使残差的平方和为最小。 二、多项式拟合的一般定义 多项式拟合是一种特殊的最小二乘法，目标是找到一个多项式函数，使观测数据的误差平方和最小。多项式拟合的定义可以写成： min ∑(yi - f(xi))^2 其中，yi 是观测数据，f(xi) 是拟合的多项式函数。 三、一般定义 一般定义是指找到一个函数关系，使观测数据的误差平方和最小。这种定义可以写成： min ∑(yi - F(xi))^2 其中，yi 是观测数据，F(xi) 是拟合的函数关系。 四、广义定义 广义定义是指找到一个函数关系，使观测数据的加权平方和最小。这种定义可以写成： min ∑ωi(yi - F(xi))^2 其中，yi 是观测数据，F(xi) 是拟合的函数关系，ωi 是权函数。 五、求解方法 求解方法是指找到最小二乘法的解，即找到函数关系F(x)，使观测数据的误差平方和最小。常用的求解方法有矩阵法、迭代法等。 六、求解步骤 求解步骤可以分为三个步骤： 1. 确定拟合曲线的形式 2. 确定变量对应的数据 3. 求解法方程 七、举例 例 1. 已知一组实验数据，求它的拟合曲线。 解：根据所给数据，在坐标纸上标出，从图中看到各点在一条直线附近，故可选择线性函数作拟合曲线，即令y = a + bx。解得拟合曲线为y = 5.1457 + 2.2472x。 例 2. 在某化学反应里，根据实验所得生成物的浓度与时间关系，求浓度 y 与时间 t 的拟合曲线 y = F(t)。 解：根据所给数据，在坐标纸上标出，得下图。从图中可以看出开始时浓度增加较快，后来逐渐减弱，到一定时间就基本稳定在一个数值上，即当 t→∞ 时，y 趋于某个常数，故有一水平渐近线。另外 t = 0 时，反应未开始，浓度为 0。概括起来为两种形式的函数关系：y = F(t) 是双曲线型或指数形式。 八、结论 最小二乘法是一种常用的曲线拟合方法，可以用来解决各种拟合问题。通过选择合适的拟合曲线形式和求解方法，可以找到观测数据的最佳拟合曲线。