在高考数学中，空间向量的应用是解决立体几何问题的重要工具，尤其在处理平行和垂直关系的证明上。本文将详细解析如何运用空间向量来解决这类问题。
平行关系的证明通常涉及线面平行和面面平行。在立体几何中，线面平行的一个关键性质是：如果直线a与平面α内的直线b垂直，且a不在α内，那么a平行于α（定理1）。此外，两个平面α和β如果都与直线a垂直，那么α平行于β（定理2）。如果a平行于b，且a垂直于平面α，那么b也垂直于α（定理3）。当两条垂直于不同平面的直线互相垂直时，这两个平面也垂直（定理4）。
在处理平行问题时，空间向量的运用至关重要。例如，如图所示，若要证明线段HG平行于平面CBE，可以找到线段MH和NG分别平行于AB，而AH等于GF，这表明CH与BG成比例，从而得出MH等于NG。进一步，通过证明PH平行于CB，PG平行于BE，可以推导出平面HPG平行于平面CBE，最终证明HG平行于平面CBE。为了严谨，还可以建立空间直角坐标系，计算相关向量的坐标，确定平面的法向量，并验证线段与平面法向量的点乘为零，从而确认平行关系。
接下来，我们看一个关于线面平行的另一个例子。在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若P、Q分别是A1B1和BC上的点，且满足A1P=BQ，M是AB1的中点，N是PQ的中点。要证明MN平行于平面AC，可以通过构造平行四边形MM1N1N，其中M1是AB1的中点，N1是PQ的中点，证明MN平行于M1N1，由于M1N1平行于平面AC，从而得出MN也平行于平面AC。同样，这里也可以通过建立坐标系，找出相关向量，利用法向量平行的条件进行证明。
至于平面平行的证明，比如在正方体ABCD-A1B1C1D1中，要证明平面A1BD平行于平面CB1D1，我们可以先找到平面A1BCD1和平面DBB1D1，由于它们分别是平行四边形，其对边平行，从而推导出平面A1BD和平面CB1D1平行。同样，利用法向量平行的性质，找到两个平面的法向量并证明它们平行，即可完成证明。
在这些例子中，我们观察到空间向量的应用使得原本复杂的空间关系变得简洁明了。通过计算向量的坐标，寻找法向量，利用点乘或数量积等于零的性质，可以有效地解决平行和垂直的证明问题。在解决具体问题时，不仅要熟练掌握相关定理，还要灵活运用坐标几何的方法，以及理解向量的几何意义。
对于不同的问题，可能需要根据具体情况选择合适的方法。在例1和例2中，主要通过几何性质和比例关系来证明平行；而在例3中，更多地依赖于法向量的计算；例4则结合了几何直观和向量的平行性。通过不断练习和比较，学生能更好地掌握空间向量在立体几何证明中的应用。
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